AMC 10 · 2005 · #16
학년 10 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
삼차원을 한 번에 떠올리기는 어렵다. 먼저 여덟 중심을 좌표로 못 박고, 종이에 그릴 수 있는 이차원 버전으로 같은 문제를 한 번 돌려 본다. '가장 작은'이라는 말은 극단의 점을 찾으라는 신호다. 여덟 구의 점 중 원점에서 가장 먼 점 하나를 찾으면 답이 결정된다. R는 그 거리 이상이어야 하고, 그 값이면 이미 충분하기 때문이다.
여덟 중심 찾기
접한다는 조건이 모든 좌표를 정해 중심들이 정육면체의 꼭짓점이 된다.
점에서 좌표평면까지의 거리는 그 좌표 자체이므로, 접한다는 조건이 중심을 바로 알려 준다.
10.G-MG.A.1Visualize Spatial Relationships평면에서 예행연습
평면 버전이 좌표 하나를 줄여 논증 전체를 예행연습해 준다.
공간의 어려운 그림도 좌표를 하나 줄이면 종이 위의 쉬운 그림이 된다.
8.G.B.7Solve An Easier Related Problem원점에서 중심까지의 거리
피타고라스 정리를 두 번 쓰면 중심까지의 거리가 √(3)이다.
공간 대각선은 평면 대각선과 높이를 피타고라스로 한 번 더 합친 것이다.
공간 대각선은 평면 대각선과 높이를 피타고라스로 한 번 더 합친 것이다.
▸ 왜?
직각이 있을 때마다 긴 변 위의 정사각형이 두 변 위의 정사각형을 더한 것이 된다.
▸ 왜?
구 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 중심까지의 거리에 반지름을 더하면 먼 쪽 표면에 닿는다.
가장 먼 점까지 뻗기
가장 먼 점은 중심에서 반지름만큼 더 나간 곳이고 그 한계가 실제로 달성된다.
공 바깥의 어떤 점에서 보든 가장 먼 점은 두 중심을 잇는 직선 위, 중심에서 반지름만큼 더 간 곳에 있다.
10.G-CO.A.1Extreme Principle선택지와 맞추기
따라서 가장 작은 반지름은 1+√(3), 보기 (D).
근호를 소수로 바꾸면 다섯 선택지의 크기 순서가 한눈에 보인다.
8.NS.A.2Eliminate Possibilities공을 감싸려면 중심 너머를 겨냥하자. 가장 먼 점은 내가 선 곳에서 중심을 잇는 직선을 따라 반지름만큼 더 간 곳에 있다.
- 여덟 중심 찾기
- 평면에서 예행연습
- 원점에서 중심까지의 거리
- 가장 먼 점까지 뻗기
- 선택지와 맞추기