AMC 10 · 2005 · #24
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
y = x² 위의 점은 x좌표 하나로 완전히 정해지므로 세 좌표를 a, b, c라 부른다. 이 포물선에서는 두 점을 잇는 현의 기울기가 두 x좌표의 합으로 간단해지고, 따라서 구하려는 값은 세 변의 기울기 합의 정확히 절반이 된다. 이렇게 바꾸어 놓으면 정삼각형이라는 조건이 기울기에 대한 이차방정식 하나로 표현되고, 그 두 근의 합만 알면 끝난다. 꼭짓점 자체는 끝까지 구할 필요가 없다.
세 꼭짓점에 이름 붙이기
세 점에 이름을 붙이면 삼각형이 세 수로 줄어든다.
꼭짓점당 수 하나는 포물선이 허락하는 가장 적은 기록량이다.
9.A-CED.A.2Introduce A Variable현의 기울기는 두 좌표의 합
현의 기울기는 두 좌표의 합일 뿐이다.
y = x² 위의 현은 두 끝점에 대해 그 합 말고는 아무것도 기억하지 않는다.
9.A-SSE.A.2Convert To Algebra구하는 값은 기울기 합의 절반
그래서 구하는 값은 세 변 기울기 합의 정확히 절반이다.
세 기울기를 다 더하면 꼭짓점마다 두 번씩 세게 되니 반으로 나누면 원래대로 돌아온다.
세 현의 기울기를 더하면 각 꼭짓점이 정확히 두 번 세어지므로, 총합을 반으로 나누면 겹셈이 풀린다.
▸ 왜?
각 꼭짓점은 세 변 가운데 정확히 두 변에 속하므로, 변을 따라 더하면 두 번 지나게 된다.
▸ 왜?
이차식은 두 근의 합을 계수에서 곧바로 내주므로, 근을 직접 찾을 필요가 없다.
정삼각형은 60° 회전 두 번
정삼각형이라 방향이 60도씩 벌어져 있다.
정삼각형은 방향 하나와 그것을 양쪽으로 60°씩 돌린 것뿐이다.
10.G-CO.C.10Draw A Diagram60°를 식으로 바꾸기
탄젠트 공식이 그것을 하나의 이차방정식으로 바꾼다.
제곱 한 번이 두 방향의 60° 회전을 한꺼번에 처리해 준다.
11.F-TF.C.9Convert To Algebra모르는 두 기울기가 곧 두 근
모르는 두 기울기가 바로 그 두 근이다.
같은 이차방정식을 만족하는 서로 다른 두 수는 그 방정식의 두 근일 수밖에 없다.
9.A-REI.B.4Eliminate Possibilities근과 계수의 관계로 합만 뽑기
비에트가 각각을 구하지 않고 합을 주어 3/11이다.
문제가 합을 물었고, 이차방정식은 계수만 보면 근의 합을 그냥 내어 준다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Ways기약분수로 만들고 더하기
이미 기약분수이므로 답은 14, 보기 (A).
기약분수일 때만 m과 n이 유일하게 정해지므로 더하기 전에 최대공약수를 확인한다.
6.NS.B.4Convert To Algebray = x² 위에서는 두 점을 잇는 직선의 기울기가 두 x좌표를 더한 값이므로, 점에 대한 질문이 기울기에 대한 질문으로 바뀐다.
- 세 꼭짓점에 이름 붙이기
- 현의 기울기는 두 좌표의 합
- 구하는 값은 기울기 합의 절반
- 정삼각형은 60° 회전 두 번
- 60°를 식으로 바꾸기
- 모르는 두 기울기가 곧 두 근
- 근과 계수의 관계로 합만 뽑기
- 기약분수로 만들고 더하기