AMC 10 · 2005 · #7
학년 8 geometry-2d absolute-valuecoordinate-geometryarea-triangles spatial-visualizationsymmetry-argumentidentify-subproblems ↑ 선수 지식: absolute-valuecoordinate-geometryarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
절댓값 둘이 들어간 식이 평면 위에 닫힌 곡선을 그린다. 그 곡선이 둘러싸는 영역의 넓이를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
6
(B)
12
(C)
16
(D)
24
(E)
25
풀이 과정
전략 그림 그리기
절댓값은 도형을 식 뒤에 숨긴다. 그래서 가장 빠른 길은 도형을 눈앞에 그려 보는 것이다. 두 개의 부호 대칭 덕분에 한 사분면이 모든 정보를 담고 있다. 쉬운 제1사분면 조각을 먼저 처리하고, 대칭으로 나머지를 복원한 뒤 곱셈으로 넓이를 얻는다.
1STEP 1
상수를 절댓값 밖으로
상수가 밖으로 나와 0에서의 거리만이 중요해진다.
|3x| + |4y| = 12 ⇔ 3|x| + 4|y| = 12
절댓값은 0 까지의 거리를 재고, 양수를 곱하면 그 거리만 늘어날 뿐 부호는 건드리지 않는다.
6.NS.C.7Organize Information In More Ways2STEP 2
한 사분면부터 풀기
양의 사분면에서는 그냥 선분이다.
3x + 4y = 12, x ≥ 0, y ≥ 0 ⟹ (4,0) to (0,3)
부호를 고정하면 절댓값 기호가 사라지고, 남는 것은 평범한 일차방정식이다.
8.F.A.3Solve An Easier Related Problem3STEP 3
대칭으로 전체 도형 만들기
반사하면 대각선이 축 위에 놓인 닫힌 도형이 된다.
vertices (4,0), (0,3), (-4,0), (0,-3)
식이 x 와 y 의 부호를 구별하지 못하므로, 한 사분면에서 일어난 일이 나머지 세 곳에 그대로 비친다.
이 식은 부호를 알아보지 못하므로, 한 사분면에서 일어난 일이 나머지 세 곳에 그대로 비친다.
▸ 왜?
축에 대해 비추면 도형이 늘어나지 않고 옮겨지므로, 비친 조각은 크기가 같다.
강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
▸ 왜?
두 축이 잘라 낸 삼각형은 절편을 두 변으로 삼으므로, 넓이는 그 곱의 절반이다.
삼각형의 넓이삼각형의 넓이는 밑변×높이의 절반이다.
4STEP 4
모퉁이 삼각형의 넓이
모퉁이 삼각형의 넓이는 6이다.
A_quadrant = 1/2 · 4 · 3 = 6
두 축이 잘라내는 삼각형은 축과의 교점이 곧 두 변이므로, 넓이는 그 둘을 곱해 반으로 나눈 값이다.
6.G.A.1Identify Subproblems5STEP 5
네 배 하기
합동인 네 조각으로 24, 보기 (D).
A = 4 · 6 = 24
합동인 조각은 넓이가 같으므로 하나만 세고 곱하면 끝난다.
6.G.A.1Identify Subproblems정답
24
영역 전체는 -4 ≤ x ≤ 4, -3 ≤ y ≤ 3 인 직사각형 안에 들어가고 그 넓이는 8 · 6 = 48이다. 이 영역은 직사각형 각 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 사각형인데, 그런 사각형은 언제나 원래 직사각형의 정확히 절반을 덮는다. 48의 절반은 24이다. 마름모의 대각선 공식으로도 같은 값이 나온다. 대각선이 8과 6 이므로 1/2 · 8 · 6 = 24이다. 선택지 6과 12는 한 사분면과 두 사분면까지의 중간 합계로, 계산을 너무 일찍 멈추면 걸리는 자리이다.
💡핵심 정리
절댓값 기호는 그림을 두 축에 대해 접어 놓은 것이므로, 한 사분면만 풀고 네 배 하면 된다.
- 상수를 절댓값 밖으로
- 한 사분면부터 풀기
- 대칭으로 전체 도형 만들기
- 모퉁이 삼각형의 넓이
- 네 배 하기