AMC 10 · 2005 · #8
학년 9 algebra quadratic-equationscoordinate-geometryzero-product-property convert-to-algebraextreme-principle ↑ 선수 지식: quadratic-equationscoordinate-geometry
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
하나의 수가 포물선과 직선을 동시에 조종한다. 직선이 포물선의 꼭짓점을 지나게 하는 실수의 개수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
10
(E)
infinitely many
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기
'지난다'는 기하 표현에는 정확한 대수 번역이 있다. 그 점의 좌표가 식을 만족한다는 뜻이다. 그래서 할 일이 둘로 나뉜다. 먼저 꼭짓점을 찾는데, 이는 최솟값 문제이므로 극단의 원리로 풀린다. 다음으로 '직선이 그 점을 품는다'를 a 에 대한 방정식 하나로 바꾸고 그 근의 개수를 센다.
1STEP 1
꼭짓점 찾기
제곱 항이 0에서 가장 작으므로 꼭짓점은 세로축 위에 있다.
y = x² + a² ≥ a², equality at x = 0 ⟹ vertex = (0, a²)
제곱은 결코 음수가 되지 않으므로, 상수에 제곱을 더하면 값은 그 상수보다 올라가기만 한다.
9.F-IF.B.4Extreme Principle2STEP 2
'지난다'를 번역하기
그 점을 지난다는 것이 미지수에 관한 방정식 하나가 된다.
a² = 0 + a ⟺ a² = a
점이 그래프 위에 있다는 것은 그 좌표가 식을 만족한다는 것과 같으므로, 대입이 곧 번역 전부이다.
9.A-CED.A.1Convert To Algebra3STEP 3
a 에 대한 방정식 풀기
나누지 않고 인수분해하면 두 근 0과 1이 모두 남는다.
a² - a = 0 ⟹ a(a-1) = 0 ⟹ a = 0 or a = 1
인수분해는 방정식 하나를 인수마다 하나씩인 짧은 경우 목록으로 바꾼다.
인수분해는 방정식 하나를 인수마다 하나씩인 짧은 경우 목록으로 바꾼다.
▸ 왜?
곱은 인수 가운데 하나가 0인 곳에서만 0이므로, 각 인수가 저마다 후보를 하나씩 준다.
곱이 0이면 인수 중 하나가 0두 수를 곱해 0이 되면 적어도 하나는 0이었으므로, 인수분해된 방정식은 인수마다 한 경우씩을 내어 준다.
▸ 왜?
양변을 같은 연산으로 정리해도 등식은 참으로 남으므로, 인수분해된 꼴의 해도 같다.
양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
4STEP 4
두 후보 확인하기
둘 다 확인되므로 개수는 2, 보기 (C).
a = 0: (0,0) ∈ {y = x}; a = 1: (0,1) ∈ {y = x+1}
풀이가 후보를 전부 찾아 주었고, 다시 대입해 보면 그것이 계산의 부산물이 아니라 진짜 해임이 확인된다.
9.F-IF.A.2Guess And Check정답
2
극단의 선택지를 직접 시험해 본다. (E)가 답이려면 모든 a 에 대해 a² = a 여야 하는데 a = 2 에서 4 ≠ 2 이므로 무너진다. (A)가 답이려면 성립하는 값이 하나도 없어야 하는데 a = 0이 분명히 성립한다. (D)는 이차방정식에서 근 열 개를 요구하므로 불가능하다. 이차방정식의 실근은 많아야 두 개이고 여기서는 둘 다 실수이며 서로 다르므로, 2가 가능한 최대 개수이자 실제 개수이다.
💡핵심 정리
'지난다'는 언제나 같은 뜻이다. 점을 찾고, 그 좌표를 식에 넣고, 식이 무엇을 요구하는지 본다.
- 꼭짓점 찾기
- '지난다'를 번역하기
- a 에 대한 방정식 풀기
- 두 후보 확인하기