AMC 10 · 2006 · #13
학년 8 geometry-2d
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문제가 묻는 것은 오직 반지름뿐인데 그림은 그 값을 알려 주지 않는다. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 꼭짓점마다 반지름에 이름을 붙인다. 진짜 작업은 "서로 외접한다"는 말을 방정식으로 바꾸는 것이고, 이 변환은 반드시 필요충분조건이어야 한다. 접한다면 PQ=r_P+r_Q 가 따라 나온다는 한 방향만으로는 부족하다. 그런 원이 실제로 존재해야만 답이 답이 되기 때문이다. 그다음 도구 #15(다르게 정리하기)로 연립방정식을 다룬다 — 하나를 다른 것에 대입하는 대신 세 식을 한꺼번에 더하면, 대칭성이 살아나면서 반지름의 총합이 한 줄에 나온다. 도구 #14(극단의 원리)는 존재성의 빈틈을 메운다. 가장 작은 반지름, 즉 가장 먼저 음수가 될 반지름을 살펴보면 삼각부등식이 바로 그것을 양수로 지켜 주는 조건임을 알 수 있다. 마지막으로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 마무리한다: π 를 밖으로 빼면 문제 전체가 제곱 세 개의 합 하나로 줄어든다.
반지름에 이름 붙이고 접함을 번역하기
바깥에서 접하므로 각 중심 거리가 반지름의 합이다.
두 원이 바깥쪽에서 맞닿는다는 것은, 한 중심에서 다른 중심까지 반지름 하나를 걷고 이어서 다른 반지름을 걸었을 때 남거나 모자람이 없다는 뜻이다.
7.G.A.2Introduce A Variable세 식을 더하고 반으로 나누기
셋을 모두 더하고 반으로 나누면 둘레의 절반이 된다.
세 식을 더하면 모든 반지름이 정확히 두 번씩 세어지므로, 2로 한 번 나누는 것만으로 어느 한 식에도 들어 있지 않던 총합이 손에 들어온다.
세 식을 더하면 각 반지름이 정확히 두 번 세어지므로, 한 번 반으로 나누면 총합이 나온다.
▸ 왜?
각 반지름은 세 변 가운데 정확히 두 변에 속하므로, 변을 따라 더하면 두 번 지나게 된다.
▸ 왜?
어느 변도 나머지 두 변을 더한 것에 이를 수 없으며, 그래서 모든 반지름이 양수로 남는다.
반지름을 하나씩 읽어 내기
한 번씩 빼면 1, 2, 3이 읽힌다.
변이 길면 그 변 위의 두 원을 멀리 밀어내므로, 긴 변을 마주 보는 꼭짓점에는 작은 반지름만 남는다.
8.EE.C.8Organize Information In More Ways세 원이 실제로 존재하는지 확인하기
삼각부등식이 모든 반지름을 양수로 만들어 원이 실제로 존재한다.
한 변을 나머지 두 변의 합과 같아질 때까지 늘리면 그 변을 마주 보는 원이 한 점으로 쪼그라든다 — 삼각부등식은 그 원을 진짜 원으로 남겨 두는 여유분 그 자체다.
7.G.A.2Extreme Principle세 넓이를 더하기
넓이를 더하면 14π, 보기 (E).
모든 원이 똑같이 π 를 달고 있으므로, 그것을 앞으로 빼내면 계산할 것은 제곱의 합 하나뿐이다.
7.G.B.4Identify Subproblems두 원이 바깥쪽에서 맞닿는다는 것은 두 중심 사이의 간격이 반지름 하나에 다른 반지름을 더한 값이라는 뜻이다. 그래서 삼각형의 각 변이 식 하나가 되고, 세 식을 한꺼번에 더하면 모든 반지름이 두 번씩 세어져 총합이 단 한 줄에 나온다.
- 반지름에 이름 붙이고 접함을 번역하기
- 세 식을 더하고 반으로 나누기
- 반지름을 하나씩 읽어 내기
- 세 원이 실제로 존재하는지 확인하기
- 세 넓이를 더하기