AMC 10 · 2006 · #17

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

tangent-circlespower-of-a-pointcoordinate-geometry convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형의 변과 원의 반지름이 모두 유리수이고, 원이 한 꼭짓점을 지나며, 다른 꼭짓점에서 그은 접선의 길이가 주어져 있다. 반지름 대 변의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{5}{9}$

(C)

$\frac{3}{5}$

(D)

$\frac{5}{3}$

(E)

$\frac{9}{5}$

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

그림이 알려 주는 길이는 AF 하나뿐인데 묻는 것은 미지수 두 개의 비이다. 식 하나에 미지수 둘 — 그러니 평범한 대수만으로는 끝낼 수 없다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 도형을 그 하나의 식으로 바꾼다. 도구 #17과 #1로 E가 정확히 어디 있는지 확정하고 정사각형을 좌표평면에 올리며, 도구 #7로 접선 길이라는 작은 문제 AF² = AE² - r²를 떼어 내고, 도구 #4로 좌표에 이름을 붙인다. 문제를 끝내는 것은 도구 #15(다르게 정리하기)이다. 식이 s² + √(2) sr = 9 + 5√(2) 꼴로 떨어지는데, 이것을 "유리수 부분"과 "√(2) 부분"으로 나누어 읽으면 식 하나가 둘로 갈라진다. 그리고 그렇게 읽는 것이 허용되는 이유가 바로 r와 s가 유리수라는 조건이다. 이 갈라짐이 문제의 전부이고, 그 앞은 모두 준비 작업이다.

1STEP 1

E의 위치부터 확정하기

두 단서가 중심을 꼭짓점 너머 대각선 위로 밀어 넣는다.

ED = r, B, D, E 는 한 직선 위에 있고 D 가 그 사이, BE = s√(2) + r

2STEP 2

정사각형을 좌표평면에 올리기

좌표가 중심을 식 하나로 써 준다.

A=(0,s), B=(0,0), C=(s,0), D=(s,s), E = (s + r/√(2), s + r/√(2))

3STEP 3

접선을 직각으로 바꾸기

접선이 직각이 되어 접점을 찾을 필요가 없다.

AF² + EF² = AE² → 9 + 5√(2) = AE² - r²

4STEP 4

AE의 제곱 계산하기

긴 거리를 계산하면 반지름의 제곱이 상쇄된다.

AE² = (s+r/√(2))² + (r/√(2))² = s² + √(2) sr + r²/2 + r²/2 = s² + √(2) sr + r²

5STEP 5

근호를 기준으로 식 가르기

유리수 조건이 식을 근호에서 갈라 두 방정식으로 만든다.

s² + √(2) sr = 9 + 5√(2) ⟹ s² - 9 = (5 - sr)√(2) ⟹ sr = 5 이고 s² = 9

6STEP 6

풀어서 비 구하기

풀면 비는 5/9, 보기 (B).

s = 3, r = 5/3, r/s = 5/3/3 = 5/9 → (B)

정답

5/9

구한 값을 원래 그림에 도로 넣어 본다. s=3, r=5/3일 때 E = (3+5/3√(2), 3+5/3√(2)) ≈ (4.1785, 4.1785)이고 A=(0,3)이므로 AE² ≈ 18.849, 따라서 AF² = AE² - r² ≈ 18.849 - 2.778 = 16.071이다. 한편 9+5√(2) ≈ 16.071로 정확히 일치하므로, 이 배치는 대수적으로 강제되기만 한 것이 아니라 실제로 성립한다. 또 AE ≈ 4.34 ＞ r이므로 A는 원 바깥에 있고 A에서 그은 접선이 존재한다. 비 5/9 ≈ 0.56은 눈대중과도 맞는다. 그림에서 반지름은 한 변의 절반보다 조금 크다. 오답 선택지는 하나같이 "엉뚱한 것을 답으로 적은" 값들이다. (D) 5/3은 r 자신, (C) 3/5은 1/r, (E) 9/5는 뒤집힌 비 s/r, (A) 1/2은 그림을 눈대중해서 반올림한 값이다. 선택지 자체에 경고가 들어 있기도 하다. (D)와 (E)는 1보다 크고, r ＞ s라면 A가 원 안이나 그 근처에 놓이므로 애초에 가능한 값이 아니었다.

💡핵심 정리

접선을 직각삼각형으로 바꾸면 그림 전체가 s² + √(2) sr = 9 + 5√(2) 하나로 줄어들고, r와 s가 유리수이므로 유리수 부분과 √(2) 부분이 따로 맞아떨어져 s²=9, sr=5, 그래서 r/s = 5/9이다.

E의 위치부터 확정하기
정사각형을 좌표평면에 올리기
접선을 직각으로 바꾸기
AE의 제곱 계산하기
근호를 기준으로 식 가르기
풀어서 비 구하기