AMC 10 · 2006 · #19

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometrytangent-circlesslope-intercept convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

어떤 직선이 두 원에 접하면서 두 원을 자기 같은 쪽에 둔다. 기울기가 양수다. 이 직선이 세로축과 만나는 곳을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{908}{119}$

(B)

$\frac{909}{119}$

(C)

$\frac{130}{17}$

(D)

$\frac{911}{119}$

(E)

$\frac{912}{119}$

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13(대수로 바꾸기)이 뼈대입니다. '접한다'와 '외접'이라는 두 말이 각각 중심에서 직선까지의 거리에 대한 정확한 식 하나로 번역되므로, 기하 문제 전체가 미지수 m 과 b 에 대한 두 개의 방정식이 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 각 원이 직선의 어느 쪽에 있는지를 정해 줍니다. '외접'이라는 말이 살아 있는 곳은 오직 그 '쪽'뿐입니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그 쪽 정보를 절댓값 경우 나누기로 어지럽히지 않고 부호 기호 ε = ± 1 하나로 깔끔하게 담습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 순서를 정해 줍니다. 두 식을 빼면 b 가 사라지고 m 만 남는 한 변수 방정식이 되므로 m 을 먼저, b 를 나중에 구합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막에 꼭 필요합니다. 양변을 제곱하면 원래 식을 만족하지 않는 가짜 해가 생길 수 있어 모든 근을 다시 대입해 확인해야 하고, 살아남은 두 근 중 하나는 m ＞ 0 조건으로만 걸러지기 때문입니다.

1STEP 1

그림과 미지수 정하기

직선을 미지수 둘로 쓰고 각 접함을 옮겨라.

ℓ : y = mx + b, P₁ = (2,4), r₁ = 4, P₂ = (14,9), r₂ = 9

2STEP 2

접한다는 것은 거리가 반지름과 같다는 것

접한다는 것은 중심에서의 거리가 반지름과 같다는 뜻이다.

ℓ 이 원 (P, r)에 접한다 ⇔ dist(P, ℓ) = r

3STEP 3

그 거리를 좌표로 쓰기

부호 있는 거리가 각 중심이 어느 쪽인지 기록한다.

d(x₀, y₀) = (mx₀ - y₀ + b)/(√(m²+1)), dist((x₀,y₀), ℓ) = |d(x₀,y₀)|

4STEP 4

'외접'은 부호에 대한 조건

같은 쪽이라는 것은 부호가 같다는 뜻이라 절댓값이 사라진다.

(2m - 4 + b)/(√(m²+1)) = 4ε, (14m - 9 + b)/(√(m²+1)) = 9ε, ε ∈ {+1, -1}

5STEP 5

빼서 b 없애기

두 조건을 빼면 절편이 사라진다.

(12m - 5)/(√(m²+1)) = 5ε

6STEP 6

기울기를 구하고 근을 검산하기

근이 둘 나오고 둘 다 진짜지만 기울기가 양수인 것은 하나뿐이다.

119m² = 120m → m = 0 또는 m = 120/119; m ＞ 0 → m = 120/119, ε = +1

7STEP 7

기울기를 대입해 b 구하기

다시 대입하면 912/119, 보기 (E).

b = 676/119 - 240/119 + 476/119 = 912/119 → (E)

정답

912/119

구한 직선을 풀이에 쓴 원 하나만이 아니라 두 원 모두에 대해 직접 검산했습니다. 거리가 정확히 4와 9로 나왔고 두 부호 거리가 모두 양수였으므로, 두 중심이 같은 쪽에 있어 이 직선은 정말 공통외접선입니다. 계산에도 맞다는 지문이 남아 있습니다. 119, 120, 169는 피타고라스 세 쌍이고, 그래서 √(m²+1)이 지저분한 무리수 대신 깔끔한 169/119로 정리되었습니다. 크기 확인도 해 봅니다. b = 912/119 ≈ 7.66이고, 그림에서 접선은 작은 원의 꼭대기 y = 8 보다 조금 아래에서 y 축을 지나는데 이와 잘 맞습니다. 선택지가 얼마나 촘촘한지도 보아 둘 만합니다. 공통분모 119로 고쳐 쓰면 908/119, 909/119, 910/119, 911/119, 912/119로 분자가 연속하는 다섯 수이고, 전체 폭이 4/119 ≈ 0.034 밖에 되지 않습니다. 어림이나 소수 계산으로는 절대 갈라낼 수 없으므로 끝까지 정확한 분수로 끌고 가야 합니다. 그것이 이 문제의 진짜 함정입니다.

💡핵심 정리

'접한다'는 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다는 뜻이고 '외접'은 두 중심이 직선의 같은 쪽에 있다는 뜻이니, 이 두 사실을 식으로 쓰고 빼서 b 를 없애면 기울기 120/119이 나오고 그것이 b = 912/119를 건네줍니다.

그림과 미지수 정하기
접한다는 것은 거리가 반지름과 같다는 것
그 거리를 좌표로 쓰기
'외접'은 부호에 대한 조건
빼서 b 없애기
기울기를 구하고 근을 검산하기
기울기를 대입해 b 구하기