AMC 10 · 2006 · #21
학년 11 algebrageometry-2d답을 골라 클릭하세요.
로그로 정의된 집합은 바로 그려 볼 수가 없으므로, 먼저 로그를 벗겨 냅니다(도구 #13). 이것이 양방향으로 정당한 이유는 log₁₀이 증가함수이기 때문입니다. 두 로그를 비교하는 것은 그 안에 있는 두 양수를 비교하는 것과 정확히 같습니다. 그러면 x와 y에 대한 이차부등식이 남고, 완전제곱식을 만들면 어떤 점으로부터의 거리에 대한 조건, 즉 원판이 됩니다. 그 넓이는 π r²입니다(그것을 보는 데 도구 #1). 다만 넓이를 믿기 전에 함정 하나를 없애야 합니다. 정의에는 x+y ＞ 0이라는 조건이 숨어 있어서, 원판의 일부가 직선 x+y=0의 반대쪽으로 삐져나온다면 영역은 온전한 원판이 아니라 잘린 조각이 됩니다. 극단의 경우를 확인합시다(도구 #14). 이차부등식을 만족하는 점에서 x+y가 얼마나 작아질 수 있는지 따져 보는 것입니다. 마지막으로 두 문제를 같은 일반형으로 나란히 정리하면(도구 #15), 비가 어디서 나오는지, 그리고 왜 어설픈 배율 논증이 예측하는 값이 아닌지가 분명해집니다.
로그 벗겨 내기
상수를 로그로 쓰면 양변을 비교할 수 있게 된다.
증가함수는 두 수의 대소를 절대 바꾸지 않으므로, 양변의 로그는 그냥 떼어 낼 수 있습니다.
오르기만 하는 함수는 두 수 가운데 어느 쪽이 큰지를 바꾸지 않으므로, 로그를 그냥 벗겨 낼 수 있다.
▸ 왜?
로그는 한 수로 다른 수를 만드는 지수이며, 큰 수일수록 큰 지수가 필요하다.
▸ 왜?
그 순서가 결코 뒤집히지 않으므로, 값의 비교가 진수의 비교로 그대로 옮겨진다.
완전제곱식으로 원판 만들기
완전제곱을 만들면 조건이 원판이 된다.
완전제곱식은 흩어진 이차식을 하나의 거리 조건으로 바꾸어 주고, 거리의 상한은 곧 원판입니다.
9.A-SSE.B.3Convert To Algebra정의역이 아무것도 잘라 내지 않는지 확인하기
로그의 정의역이 자동으로 만족되어 잘리는 부분이 없다.
부등식을 극단까지 밀어 봅시다. 왼쪽이 가장 작아야 1인데, 그것만으로도 이미 x+y가 양수임이 강제됩니다.
9.A-CED.A.3Extreme Principle두 번째 집합에 같은 논증 반복하기
같은 논증으로 둘째 영역도 온전한 원판이 된다.
두 번째 집합은 10 대신 100으로 똑같이 만들어졌으므로, 완전제곱식과 정의역 확인이라는 같은 두 수순으로 끝납니다.
10.G-GPE.A.1Convert To Algebra반지름을 넓이로 바꾸기
제곱한 반지름이 이미 우변에 있어 근호가 필요 없다.
완전제곱식은 r²을 곧바로 건네주고, 넓이 공식이 원하는 것이 바로 그 r²입니다.
7.G.B.4Draw A Diagram두 넓이 비교하기
나누면 102로 딱 백보다 조금 크다, 보기 (E).
두 반지름의 제곱을 같은 일반형으로 써 보면 비가 순진한 100이 아니라 (5000-2)/(50-1)임이 드러납니다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Wayslog₁₀이 증가함수이므로 로그는 깔끔하게 떨어져 나가고 각 집합은 원판이 됩니다. 숨은 조건 x+y ＞ 0이 아무것도 잘라 내지 않는지 확인한 뒤 π r²을 비교하면 4998π/49π=102입니다.
- 로그 벗겨 내기
- 완전제곱식으로 원판 만들기
- 정의역이 아무것도 잘라 내지 않는지 확인하기
- 두 번째 집합에 같은 논증 반복하기
- 반지름을 넓이로 바꾸기
- 두 넓이 비교하기