AMC 10 · 2006 · #3
학년 6 rate-ratio ratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
두 사람의 나이 비가 3 대 5이고 나이 많은 쪽이 30살이다. 어린 쪽의 나이를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
15
(B)
18
(C)
20
(D)
24
(E)
50
풀이 과정
전략 변수 도입하기
비 3:5는 사실 크기가 같은 몫들의 모음이다. 메리는 3 몫, 앨리스는 5 몫을 가진다. 도구 #4(변수 도입하기)로 한 몫의 크기를 x 라 하면 메리 =3x, 앨리스 =5x 가 된다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 '앨리스는 30 살'이라는 사실을 식 5x=30으로 바꾸면 x 가 정해진다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 빠르게 점검하면, 메리는 비에서 작은 쪽이므로 30 보다 어려야 하고, 따라서 (E) 50은 곧바로 지워진다.
1STEP 1
나이를 같은 몫으로 나누기
비가 두 나이를 같은 크기의 몫으로 나눈다.
메리 = 3x, 앨리스 = 5x
비는 두 나이를 똑같은 크기의 블록으로 자를 뿐 — 메리는 3 블록, 앨리스는 5 블록이다.
비는 두 나이를 똑같은 크기의 덩어리로 자르는데, 한 사람은 셋, 다른 사람은 다섯이다.
▸ 왜?
각 덩어리는 전체의 같은 몫 하나이므로, 덩어리를 세는 것만으로 양이 정해진다.
분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
▸ 왜?
두 나이가 같은 덩어리로 만들어졌으므로, 한 나이를 알면 덩어리 크기가 정해지고 이어서 다른 나이도 정해진다.
비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
2STEP 2
앨리스의 나이로 한 몫 크기 정하기
아는 나이가 한 몫을 6으로 만든다.
5x = 30 → x = 30/5 = 6
같은 블록 5 개가 30을 만든다면 블록 하나는 30 ÷ 5 = 6 이어야 한다.
6.RP.A.3Convert To Algebra3STEP 3
메리의 나이 만들고 확인하기
다시 만들면 18이고 비도 맞는다, 보기 (B).
메리 = 3x = 3 × 6 = 18 → (B)
6 살짜리 블록 세 개가 쌓여 18이 되고, 18:30은 그대로 3:5로 되돌아간다.
6.RP.A.3Eliminate Possibilities정답
18
메리는 비에서 작은 쪽이므로 그 나이는 앨리스의 30 보다 낮아야 한다 — 이것만으로 (E) 50이 한눈에 지워지고 답이 낮은 범위에 있음을 알 수 있다. 결과를 검산하면 18:30은 양쪽을 6으로 나눠 3:5가 되어 문제의 비와 정확히 일치하므로 18은 모순이 없다. 다른 작은 선택지들은 이 검산을 통과하지 못한다 — 예를 들어 15:30 = 1:2, 20:30 = 2:3으로 어느 것도 3:5가 아니다.
💡핵심 정리
비는 두 양을 같은 크기의 몫으로 나눈다 — 아는 수에서 한 몫의 크기를 구한 뒤 곱해서 원하는 값을 얻어라.
- 나이를 같은 몫으로 나누기
- 앨리스의 나이로 한 몫 크기 정하기
- 메리의 나이 만들고 확인하기