AMC 10 · 2006 · #12
학년 9 algebra답을 골라 클릭하세요.
주어진 두 조건은 모두 그래프에 관한 말이다. 꼭짓점이 어디에 있는지, 곡선이 y축과 어디서 만나는지다. 그런데 y=ax²+bx+c라는 꼴은 꼭짓점을 완전히 감춘다. 도구 #15(다르게 정리하기)로 같은 포물선을 y=a(x-p)²+p로 다시 쓰면 꼭짓점이 식 안에 들어오고 남는 미지수는 a 하나뿐이다. 이어서 도구 #4(변수 도입하기)가 계산을 정직하게 유지한다. 전개해 보면 b=-2ap이므로 b는 a와 p를 곱한 값을 통해서만 이들에 의존하고, 따라서 진짜 목표는 그 곱 하나를 찾는 것이다. 도구 #11(거꾸로 풀기)이 그 곱을 준다. y절편은 완성된 곡선에 대한 사실이므로, 이를 꼭짓점 꼴에 거꾸로 대입하면 ap가 나온다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)이 이런 논증이 흔히 남기는 빈틈을 메운다. 지금까지의 대수는 그런 포물선이 존재한다면 b가 무엇이어야 하는지만 보여 주므로, 끝에서 후보 곡선을 실제로 만들어 두 조건에 맞는지 확인한다.
꼭짓점이 보이게 다시 쓰기
다시 쓰면 식에서 꼭짓점이 보인다.
제곱은 안이 0일 때 정확히 가장 작아지므로, x-p를 감싸 제곱을 만들면 방향이 꺾이는 지점이 눈에 바로 보인다.
제곱은 그 안이 0일 때 가장 작으므로, 꼭짓점을 중심으로 제곱을 세우면 그것이 드러난다.
▸ 왜?
제곱은 결코 음수가 아니므로, 상수에 더하면 값을 그 상수보다 위로 밀 뿐이다.
▸ 왜?
밀린 제곱을 펼치면 곱셈이 모든 항에 퍼지며, 그래서 계수가 다시 쓰인다.
b가 무엇으로 이루어졌는지 보기
전개하면 가운데 계수가 하나의 곱임이 보인다.
미지수 둘은 하나보다 나빠 보이지만, b는 a와 p를 곱한 모습으로만 만난다.
9.A-SSE.A.1Introduce A Variabley절편을 써먹기
교점이 바로 그 곱을 준다.
p로 나누는 것은 p ≠ 0이기에만 허용되고, 그 한 번의 나눗셈이 b가 기다리던 곱을 그대로 건네준다.
9.A-CED.A.2Work Backwards두 사실을 합치기
합치면 계수는 4다.
b가 a와 p에 오직 ap를 통해서만 의존하므로, 그 곱을 정하면 p가 남지 않고 b가 정해진다.
9.A-REI.B.3Introduce A Variable그런 포물선이 실제로 있는지 확인하기
구체적인 포물선이 실제로 가능함을 보이므로 답은 4, 보기 (D).
조건이 강제한 답은 그 조건을 실제로 만족하는 곡선을 보여 주어야 비로소 값어치가 있다.
9.F-IF.A.2Guess And Check포물선을 y=a(x-p)²+p로 다시 쓰면 b는 -2ap가 되므로 a와 p는 따로 따로는 필요 없고, y절편이 곱 ap=-2를 고정하므로 어떤 p에서 시작했든 b=4이다.
- 꼭짓점이 보이게 다시 쓰기
- b가 무엇으로 이루어졌는지 보기
- y절편을 써먹기
- 두 사실을 합치기
- 그런 포물선이 실제로 있는지 확인하기