AMC 10 · 2006 · #13
학년 8 geometry-2d
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문제 전체가 하나의 그림 안에 담겨 있으므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. 마름모를 잘 읽으면 BD가 두 마름모 모두의 대각선이라는 것과, 60° 각이 삼각형 ABD를 정삼각형으로 만든다는 것을 알 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 작업을 두 갈래로 나눈다 — 먼저 넓이에서 ABCD의 두 대각선을 확정하고, 그다음 두 마름모를 비교한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 공통 변의 길이를 s로 두어 모든 대각선을 한 문자로 나타내게 하며, 바로 이것이 공유 대각선 BD가 큰 마름모와 작은 마름모를 잇게 하는 열쇠이다.
60도 각이 정삼각형을 만든다
60도 각이 안에 정삼각형을 만든다.
길이가 같은 두 변과 그 사이의 60도 각이 있으면 나머지 변도 같아지므로, 짧은 대각선이 변과 같아진다.
두 변이 같고 그 사이 각이 60도이면 나머지 한 변도 같을 수밖에 없다.
▸ 왜?
두 변이 같으면 밑각도 같아지므로, 그 도형은 자기 자신의 거울상이 된다.
▸ 왜?
세 각의 합은 평각이므로, 60도 꼭지각 옆의 같은 두 밑각도 60도여야 한다.
긴 대각선과 넓이를 구한다
그것이 두 대각선을 주고 넓이를 변의 제곱과 잇는다.
마름모를 두 대각선으로 자르면 네 개의 직각삼각형이 생기므로, 피타고라스 정리가 남은 대각선을 알려준다.
8.G.B.7Identify Subproblems작은 마름모 안에서 BD의 위치를 찾는다
작은 마름모에서는 공유된 대각선이 긴 쪽이다.
공유하는 대각선이 큰 마름모에는 짧은 대각선이지만 작은 마름모에는 긴 대각선이며, 바로 그래서 안쪽 마름모가 작아진다.
8.G.A.4Introduce A VariableBFDE의 넓이를 계산한다
그래서 넓이가 삼분의 일이 되어 8, 보기 (C).
작은 마름모는 같은 모양을 줄여 만든 것이므로, 그 넓이는 큰 것의 깔끔한 분수가 된다.
7.RP.A.3Identify Subproblems닮은 두 도형이 한 선분을 공유할 때, 그 선분이 각 도형에서 긴 대각선인지 짧은 대각선인지를 따져 보라 — 여기서 BD는 큰 마름모에는 짧은 대각선이지만 작은 마름모에는 긴 대각선이어서, 작은 넓이가 정확히 삼분의 일인 8이 된다.
- 60도 각이 정삼각형을 만든다
- 긴 대각선과 넓이를 구한다
- 작은 마름모 안에서 BD의 위치를 찾는다
- BFDE의 넓이를 계산한다
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