AMC 10 · 2006 · #15
학년 8 geometry-2d
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오목한 육각형은 무서워 보이지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이미 아는 조각들로 바꿀 수 있다. 직선 OP가 도형을 거울처럼 똑같은 두 반쪽으로 나누고, 각 반쪽은 사각형 OADP일 뿐이다 — 두 반지름 OA와 PD가 같은 접선 AD에 수직이라 서로 평행하므로 이것은 직각사다리꼴이다. 그래서 계획은 이렇다: (1) 접점으로 반지름을 그어 직각을 표시하고(도구 #1, 그림 그리기), (2) 직각삼각형을 만들어 피타고라스 정리로 접선 길이 AD를 구하고, (3) 직각사다리꼴 OADP의 넓이를 구하고, (4) 대칭(도구 #17)으로 아래 반쪽이 위 반쪽과 합동이므로 두 배 한다. 이상한 도형 하나가 익숙한 도형 둘로 바뀐다.
반지름을 긋고 평행한 변을 찾기
같은 접선으로 간 반지름이 평행해 사다리꼴이 생긴다.
두 반지름이 같은 접선에 직각으로 기대어 있으니 같은 방향을 가리켜 평행하다.
두 반지름 모두 같은 접선에 직각으로 기대어 있으므로, 같은 방향을 향하고 결코 만나지 않는다.
▸ 왜?
접점으로 그은 반지름은 접선과 직각으로 만나므로, 그 방향이 정확히 정해진다.
▸ 왜?
방향이 같은 두 직선은 간격을 그대로 유지하며 만나지 않고, 그래서 그 도형이 사다리꼴이 된다.
직각삼각형을 만들어 AD 구하기
안의 직각삼각형이 접선 길이 4√(2)를 준다.
직사각형 하나를 잘라내면 접선 길이가 곧 빠진 변인 깔끔한 직각삼각형 하나가 남는다.
8.G.B.7Identify Subproblems사다리꼴 OADP의 넓이 구하기
사다리꼴의 넓이는 12√(2)이다.
사다리꼴 넓이는 평균 너비에 평행한 변끼리 떨어진 거리를 곱한 것일 뿐이다.
6.G.A.1Identify Subproblems대칭을 이용해 두 배 하기
대칭으로 두 배 하면 24√(2), 보기 (B).
OP에 대한 거울 대칭 덕분에 아래 반쪽은 위 반쪽의 공짜 복사본이라 두 배만 하면 된다.
4.G.A.3Visualize Spatial Relationships반지름은 접선과 항상 직각으로 만나므로, 접선 문제에는 직각삼각형과 간단한 사다리꼴이 숨어 있다 — 그것들을 찾으면 피타고라스 정리가 빠진 길이를 알려 준다.
- 반지름을 긋고 평행한 변을 찾기
- 직각삼각형을 만들어 AD 구하기
- 사다리꼴 OADP의 넓이 구하기
- 대칭을 이용해 두 배 하기
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