AMC 10 · 2006 · #16
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
두 좌표가 문제의 핵심처럼 보이지만, 그것들이 하는 일은 단 하나다: 길이 AC를 정하는 것이다. 그러니 한 변의 길이를 s라 부르고(도구 #4, 변수 도입하기), 아는 양과 구하려는 양을 모두 s로 나타내자. 아는 양은 AC이고, 구하려는 넓이는 한 변이 s인 정삼각형 6개의 넓이다(도구 #7, 작은 문제로 쪼개기). 그러면 s는 저절로 사라진다. 조심할 곳은 AC와 s를 잇는 고리 하나뿐이다. 그 고리를 정하는 것은 좌표가 아니라 이름 붙이기다. C는 A에서 두 칸 떨어진 꼭짓점이므로 AC는 짧은 대각선이고, 그림(도구 #1)과 120° 내각을 쓰면 s√(3)으로 바뀐다. 그리고 이런 두 꼭짓점을 가진 육각형이 실제로 존재하는지 확인하는 단계를 따로 둔다(도구 #17). AC에서 s를 계산한 것은 "만약 존재한다면 s는 이 값이어야 한다"까지만 말해 줄 뿐, 그 육각형이 있다는 것까지 말해 주지는 않기 때문이다.
좌표가 아니라 이름을 먼저 읽기
이름이 고정점 사이에 꼭짓점 하나가 있음을 보여 준다.
좌표는 AC가 얼마나 긴지를 말해 주고, 어느 대각선인지를 말해 주는 것은 문자뿐이다.
8.G.A.5Draw A Diagram좌표로 AC 재기
좌표가 그 거리를 5√(2)로 준다.
좌표평면 위의 두 점에는 가로 차이와 세로 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형이 늘 숨어 있다.
8.G.B.8Introduce A Variable120도 각을 루트 3으로 바꾸기
정해진 내각이 그것을 변과 잇는다.
길이가 같은 두 변이 이루는 120° 꼭지각은 30-60-90 삼각형 두 개로 쪼개지고, 육각형의 모든 √(3)은 바로 여기서 나온다.
8.G.B.7Identify Subproblems그런 육각형이 정말 존재하는지 확인하기
중심을 찾을 수 있으므로 그런 육각형이 실제로 존재한다.
꼭짓점 하나를 중심 둘레로 60°씩 돌리면 육각형 전체가 만들어지고, 그것이 도형이 식 속에만 있는 것이 아니라 실제로 존재한다는 증거가 된다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships정삼각형 여섯 개
정삼각형 여섯 개가 25√(3)을 준다, 보기 (C).
정육각형은 중심 둘레에 정삼각형 여섯 개를 펼쳐 놓은 것이므로, 넓이는 언제나 s²의 일정한 배수이다.
정육각형은 중심을 둘러싼 정삼각형 여섯 개이므로, 그 넓이는 한 변의 제곱에 정해진 배수를 곱한 것이다.
▸ 왜?
중심에서 같은 각 여섯 개가 한 바퀴를 채우므로, 각 조각은 정확히 60도로 열린다.
▸ 왜?
각 삼각형이 한 변의 제곱으로 커지므로, 육각형 전체도 그렇게 커진다.
정육각형에서 꼭짓점을 하나 건너뛴 대각선은 언제나 한 변의 √(3)배이므로 대각선 하나가 도형 전체를 정한다 — 그리고 넓이 공식에는 s²이 들어가므로 s 자체를 간단히 할 필요는 없다.
- 좌표가 아니라 이름을 먼저 읽기
- 좌표로 AC 재기
- 120도 각을 루트 3으로 바꾸기
- 그런 육각형이 정말 존재하는지 확인하기
- 정삼각형 여섯 개