AMC 10 · 2006 · #21
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
여기서 중요한 길이는 네 개입니다 — 직사각형의 두 변과 타원의 두 반축. 그래서 도구 #4(변수 도입하기)로 이들을 l, w, a, b라 이름 붙이면 두 개의 넓이 조건이 두 개의 식이 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 다리를 놓아 줍니다. 꼭짓점 A에는 두 변 AB와 AD가 모이는데, 이 둘이 바로 A에서 두 초점까지의 거리이고, BD는 직사각형의 대각선이면서 동시에 두 초점 사이의 거리입니다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 결정적입니다. 둘레에는 l+w만 필요하고 l과 w를 따로 알 필요가 없으므로, 문제 전체를 합 l+w와 곱 lw로 다시 써야 합니다. 이어서 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 그 관계들을 맞물려 계산합니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)을 정직하게 씁니다. 식만으로는 '그런 직사각형이 존재한다면 둘레가 얼마여야 하는가'만 말해 주므로, 실제 변의 길이를 만들어 보여야 합니다.
네 개의 길이에 이름 붙이기
주어진 두 넓이가 두 곱이 된다.
서로 다른 두 도형이 각각 식을 하나씩 내놓는데, 둘 다 '두 길이의 곱이 2006'이라고 말한다.
9.A-CED.A.2Introduce A Variable꼭짓점 A가 둘레의 절반을 준다
정의 덕분에 둘레가 한 축의 배수가 된다.
한 꼭짓점에서 만나는 두 변이 바로 그 꼭짓점에서 두 초점까지의 거리이므로, 초점 거리 합의 규칙이 둘레의 절반을 그냥 건네준다.
11.G-GPE.A.3Draw A Diagram대각선이 곧 초점 사이 거리
대각선이 곧 초점 사이 거리다.
초점이 마주 보는 꼭짓점에 놓여 있으니, 초점 사이의 간격은 직사각형의 대각선 그 자체다.
8.G.B.7Draw A Diagram핵심: b²은 직사각형 넓이의 절반
타원 관계식이 다른 축의 제곱을 직사각형 넓이의 절반으로 만든다.
합의 제곱에서 제곱의 합을 빼면 교차항만 남으므로, 모양에 대한 정보는 사라지고 넓이만 남는다.
합을 제곱한 뒤 제곱의 합을 빼면 교차항만 남으므로, 넓이가 저절로 떨어져 나온다.
▸ 왜?
합을 자기 자신과 곱해 펼치면 각 제곱은 한 번, 교차항은 두 번 나온다.
▸ 왜?
대각선의 제곱은 두 변의 제곱을 더한 것이며, 그것이 바로 빼는 그 합이다.
타원의 넓이가 a를 확정한다
주어진 타원 넓이가 첫 축을 확정한다.
짧은 반축을 알고 나면 넓이가 고정되어 있으므로 긴 반축이 강제되고, 결과적으로 긴 쪽이 짧은 쪽의 정확히 두 배가 된다.
8.EE.A.2Convert To Algebra직사각형의 존재를 확인하고 둘레를 읽기
실제 직사각형이 존재하므로 둘레는 8√(1003), 보기 (C).
식은 존재할 수 없는 도형도 얼마든지 기술할 수 있으므로, 실제 변의 길이를 만들어 보여야 '강제된 값'이 '진짜 답'이 된다.
9.A-REI.B.4Guess And Check한 꼭짓점에서 만나는 두 변이 그 꼭짓점에서 두 초점까지의 거리이므로 둘레의 절반이 곧 타원의 2a이고, (l+w)²-(l²+w²)=2lw이므로 짧은 반축은 직사각형의 넓이만 알고 있어 둘레가 8√(1003)으로 고정된다.
- 네 개의 길이에 이름 붙이기
- 꼭짓점 A가 둘레의 절반을 준다
- 대각선이 곧 초점 사이 거리
- 핵심: b²은 직사각형 넓이의 절반
- 타원의 넓이가 a를 확정한다
- 직사각형의 존재를 확인하고 둘레를 읽기