AMC 10 · 2006 · #23
학년 9 geometry-2d
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숨어 있는 한 점에서 잰 세 거리는 순수 기하로 다루기 어려우므로, 그림 전체를 대수로 옮깁니다(도구 #13). 직각을 원점에 놓으면(도구 #1) 두 변이 수직이고 길이가 같다는 사실이 좌표에 저절로 들어가고, P=(x,y)라 이름 붙이면(도구 #4) PA, PB, PC가 세 개의 식이 됩니다. 이 세 식은 모두 같은 x²+y²를 지니고 있어서, 두 개씩 빼면 s²에 대한 이차방정식 하나로 무너집니다. 여기서 조심할 대목이 나옵니다. 그 이차방정식의 두 근 중 어느 것도 가짜가 아닙니다. 두 근 모두 실제로 세 꼭짓점에서 거리가 6, 11, 7인 점을 만들어 냅니다. 둘을 갈라놓는 것은 오직 "내부"라는 말뿐이므로, 도구 #3은 대충 넘기지 않고 내부 판정 조건으로 사용합니다. 도구 #17은 독립적인 확인용으로 남겨 둡니다. C를 중심으로 90° 회전하면 같은 두 후보가 P에서의 두 가지 각으로 다시 나타납니다.
직각을 원점에 놓기
직각을 원점에 두면 깔끔한 좌표가 된다.
축을 두 변에 맞추면 직각과 길이가 같다는 조건을 곧바로 써 버리게 되어, 남는 것은 세 거리뿐이다.
8.G.B.8Draw A Diagram세 거리를 식으로 바꾸기
세 거리가 세 방정식이 된다.
거리 공식은 모습을 바꾼 피타고라스 정리여서, 거리 하나가 곧 식 하나가 된다.
8.G.B.8Convert To Algebra빼서 제곱항 없애기
쌍으로 빼면 제곱항이 사라진다.
세 식이 똑같은 덩어리 x²+y²를 지니고 있으므로, 빼면 어려운 부분이 버려지고 일차식만 남는다.
세 식이 모두 똑같은 제곱 덩어리를 지니므로, 빼면 어려운 부분이 버려지고 일차식만 남는다.
▸ 왜?
같은 조각을 지닌 두 양을 빼면 그 조각이 완전히 사라진다.
▸ 왜?
각 거리는 좌표 차를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이며, 공통된 제곱은 거기서 온다.
좌표를 PC = 6에 다시 넣기
좌표를 다시 넣으면 이차방정식 하나가 나온다.
아직 쓰지 않고 남겨 둔 식 하나가 결국 삼각형의 크기를 못 박는다.
9.A-CED.A.1Introduce A Variables 제곱에 대한 이차방정식 풀기
그 방정식은 실수인 두 근을 가진다.
답의 모양이 예고한 √2는 14112=84² · 2라는 판별식 속에 숨어 있었다.
9.A-REI.B.4Introduce A Variable두 근 모두 진짜 점이다
하나는 점을 밖에 놓아 하나만 남는다.
식들은 세 거리만 알고 있으므로 "내부"라는 말이 추가 정보이고, 여기서는 그 정보가 답을 결정한다.
9.A-CED.A.3Eliminate Possibilities살아남은 근이 정말 되는지 확인하기
남은 근을 확인하면 점이 안쪽에 있다.
경쟁자를 지우면 후보가 남을 뿐이고, 그 점이 진짜 내부에 떨어짐을 보여야 비로소 답이 된다.
9.A-CED.A.3Eliminate Possibilitiesa 와 b 읽어 내기
두 수를 읽으면 127, 보기 (E).
어떤 수를 정수 더하기 정수 곱하기 √2 꼴로 쓰는 방법은 단 하나뿐이므로, a와 b는 고르는 것이 아니라 정해지는 것이다.
9.N-RN.B.3Introduce A Variable직각을 원점에 놓고 거리 식들을 빼서 제곱을 없앤 뒤, 대수가 진짜 점 두 개를 내놓는다는 것을 기억하라 — 그중 하나를 고르는 것은 "내부"라는 말이다.
- 직각을 원점에 놓기
- 세 거리를 식으로 바꾸기
- 빼서 제곱항 없애기
- 좌표를 PC = 6에 다시 넣기
- s 제곱에 대한 이차방정식 풀기
- 두 근 모두 진짜 점이다
- 살아남은 근이 정말 되는지 확인하기
- a 와 b 읽어 내기