AMC 10 · 2006 · #24

학년 11 algebrageometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

angle-addition-formulapythagorean-identityquadratic-equationsarea-triangles convert-to-algebraarea-difference ↑ 선수 지식: angle-addition-formulaquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

각으로 이루어진 정사각형 안에서 두 사인에 관한 이차 부등식을 만족하는 점만 남긴다. 남는 부분의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{\pi^2}{9}$

(B)

$\dfrac{\pi^2}{8}$

(C)

$\dfrac{\pi^2}{6}$

(D)

$\dfrac{3\pi^2}{16}$

(E)

$\dfrac{2\pi^2}{9}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

sin y를 상수로 보면 sin² x - sin x sin y + sin² y는 sin x에 대한 이차식이다. 그래서 a = sin x, b = sin y라 이름 붙이면 낯선 곡선이 익숙한 위로 볼록한 포물선으로 바뀌고, '3/4 이하'라는 말은 '두 근 사이에 있다'는 말이 된다. 이어서 근의 공식이 경계를 닫힌 식으로 내주고, 피타고라스 항등식과 사인 덧셈정리가 그것을 sin x = sin(y ± π/3)로 접어 준다. 진짜 문제는 그다음이며, 이 문제는 여기서 성급함을 벌한다. sin x ≤ sin θ를 x ≤ θ로 바꾸는 것은 θ가 사인이 증가하는 사분면 안에 있을 때만 허용되는데, y ＞ π/6가 되는 순간 y + π/3은 그 범위를 벗어난다. 그래서 경우를 나누고 sin θ = sin(π - θ)로 벗어난 각을 접어 넣는다. 경우 나누기는 영역의 일부를 조용히 잃어버리기 쉬운 단계이므로, 그다음에는 경우 나누기가 전혀 없는 완전히 다른 방법으로 결과를 검증한다: 조건 전체를 두 인수의 곱으로 다시 쓰는 대수 항등식이다. 곱이 0 이하인 것은 두 인수의 부호가 서로 다를 때뿐이므로 가지가 둘 생기는데, 그중 하나는 '경계 직선을 긋고 편한 시험점이 있는 쪽을 칠하는' 논법으로는 절대 보이지 않는다. 두 경로가 일치한 뒤에야 다각형을 읽고 넓이를 재되, 오각형을 조각내어 더하는 대신 정사각형에서 모서리 삼각형 세 개를 빼는 방식을 쓴다.

1STEP 1

이차식으로 읽기

한 사인에 대한 이차식으로 읽으면 풀 수 있다.

a = sin x, b = sin y, a, b ∈ [0,1], a² - ab + b² ≤ 3/4

2STEP 2

제곱근을 정직하게 벗기기

제곱근이 단순한 코사인으로 정리된다.

a = (sin y ± √(3 - 3sin² y))/2 = (sin y ± √(3cos² y))/2 = 1/2sin y ± √(3)/2cos y

3STEP 3

평행이동된 사인 알아보기

그 범위가 평행이동된 사인임이 드러난다.

sin(y - π/3) ≤ sin x ≤ sin(y + π/3)

4STEP 4

허용될 때만 사인 벗기기

사인은 증가하는 곳에서만 벗길 수 있다.

lvert x - y rvert ≤ π/3 그리고 x + y ≤ 2π/3

5STEP 5

항등식 하나가 경우 나누기를 대신한다

인수분해 항등식이 경우 나누기를 모두 대신한다.

sin² x - sin x sin y + sin² y - 3/4 = (cos(x+y) + 1/2)(1/2 - cos(x-y))

6STEP 6

빠져나간 가지는 점 하나뿐

빠져나간 가지는 점 하나라 넓이가 없다.

x + y ≥ 2π/3 이고 x - y ≥ π/3 ⟹ 2x ≥ π ⟹ x = π/2, y = π/6

7STEP 7

오각형의 다섯 꼭짓점 찾기

영역은 꼭짓점 다섯을 찾을 수 있는 오각형이다.

(0,0), (π/3, 0), (π/2, π/6), (π/6, π/2), (0, π/3)

8STEP 8

모서리 삼각형 셋을 빼기

모서리 삼각형 셋을 빼면 π²/6, 보기 (B).

π²/4 - 2 · 1/2(π/6)² - 1/2(π/3)² = π²(1/4 - 1/36 - 1/18) = π²/6

정답

π²/6

빼기 대신 더하기로 같은 넓이를 다시 만들어 본다. 오각형은 꼭짓점이 (0,0), (π/3,0), (0,π/3)인 직각이등변삼각형(넓이 1/2(π/3)² = π²/18)과 사각형 (π/3,0), (π/2,π/6), (π/6,π/2), (0,π/3)로 갈라진다. 이 사각형은 직사각형이다. 이웃한 두 변이 방향 (1,1)과 (-1,1)을 따라 놓여 서로 수직이고, 변의 길이는 π√(2)/6과 π√(2)/3이므로 넓이는 π²/9이다. 합하면 π²/18 + π²/9 = π²/6으로 일치한다. 점을 직접 원래 부등식에 넣어 확인해 보자. (π/6,π/6)에서는 두 사인이 모두 1/2이고 식의 값은 1/4 ≤ 3/4이므로 안쪽이며, 두 직선 조건도 모두 성립한다. (π/2,0)에서는 값이 1 ＞ 3/4이라 바깥이고, 실제로 lvert x - y rvert = π/2 ＞ π/3이다. (π/3,0)에서는 값이 정확히 3/4이라 경계이고, 이는 x - y = π/3과 맞는다. (π/2,π/6)에서는 1 - 1/2 + 1/4 = 3/4으로, 바로 그 퇴화한 가지의 점이다. 선택지 크기 점검: 영역은 작은 정사각형 [0,π/3]² 전체를 포함한다(거기서는 lvert x-y rvert ≤ π/3과 x+y ≤ 2π/3이 모두 성립한다). 따라서 넓이는 최소 π²/9이므로 선택지 π²/9은 너무 작다. 또 잘려 나간 모서리 삼각형 셋은 눈에 보이게 비어 있지 않고 넓이 합이 π²/12이므로 넓이는 최대 π²/4 - π²/12 = π²/6이고, 이것만으로 3π²/16과 2π²/9가 곧바로 탈락한다. 최종값은 정사각형의 2/3인데, 모서리 세 곳만 적당히 잘려 나간 그림과 잘 맞는다.

💡핵심 정리

부등식이 엉켜 보이면 '무엇 곱하기 무엇'으로 다시 써라 — 곱이 음수인 것은 두 인수의 부호가 다를 때뿐이고, 그러면 구불구불해 보이던 조건이 실제로 잴 수 있는 직선 몇 개로 바뀐다.

이차식으로 읽기
제곱근을 정직하게 벗기기
평행이동된 사인 알아보기
허용될 때만 사인 벗기기
항등식 하나가 경우 나누기를 대신한다
빠져나간 가지는 점 하나뿐
오각형의 다섯 꼭짓점 찾기
모서리 삼각형 셋을 빼기