AMC 10 · 2006 · #3
학년 7 algebra systems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations
📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트
문제
두 팀의 점수 합이 34점이고, 이긴 팀이 진 팀보다 14점 많다. 진 팀의 점수를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
10
(B)
14
(C)
17
(D)
20
(E)
24
풀이 과정
전략 변수 도입하기
모르는 두 점수가 총합과 차이라는 두 사실로 묶여 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 팬서스의 점수를 p 로 놓고 쿠거스의 점수를 p+14로 쓰면 말이 하나의 식으로 바뀝니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 구한 값을 두 사실에 대조하는데, 이는 진 팀의 점수 대신 이긴 팀의 점수 24 나 무승부 값 17을 답하는 흔한 함정도 막아 줍니다.
1STEP 1
모르는 점수에 이름 붙이기
작은 점수에 이름을 붙이면 다른 쪽이 단순한 덧셈이 된다.
팬서스=p, 쿠거스=p+14
더 작은 점수에 이름을 한 번 붙이면 더 큰 점수는 거기서 써 낼 수 있어 미지수가 하나만 남습니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
총합을 식으로 바꾸기
합이 하나의 방정식이 된다.
p+(p+14)=34 → 2p+14=34
두 팀의 점수를 더하면 주어진 총합이 나와야 하고, 이것이 p 를 고정합니다.
7.EE.B.4Introduce A Variable3STEP 3
팬서스의 점수 구하기
풀면 10이다.
2p+14=34 → 2p=20 → p=10
+14와 ×2를 반대 순서로 벗겨 내면 p 만 남습니다.
더해진 14와 두 배를 거꾸로 순서로 벗겨 내면 미지의 점수만 남는다.
▸ 왜?
각 연산은 그 반대 연산으로 되돌려지므로, 사슬을 거꾸로 밟으면 처음 수가 되살아난다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
양변에 같은 일을 해도 등식은 참으로 남으면서 미지수만 드러난다.
양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
4STEP 4
두 사실을 확인하고 답 고르기
주어진 두 사실이 모두 맞으므로 답은 10, 보기 (A).
쿠거스=24, 10+24=34, 24-10=14 → (A)
올바른 점수 짝은 총합과 차이를 동시에 만족해야 합니다.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities정답
10
팬서스는 진 팀이므로 점수가 34의 절반인 17 보다 작아야 합니다. 10은 실제로 17 보다 작고, 선택지 (C) 17, (D) 20, (E) 24는 모두 무승부 선 이상이라 진 팀의 점수가 될 수 없습니다. 구한 점수를 더하면 10+24=34이고 차이는 14로, 주어진 두 사실과 정확히 일치합니다.
💡핵심 정리
총합과 차이를 알 때는 더 작은 값에 글자 하나로 이름을 붙이고 더 큰 값을 그 글자에 차이를 더한 것으로 쓰면, 식 하나로 둘 다 구할 수 있습니다.
- 모르는 점수에 이름 붙이기
- 총합을 식으로 바꾸기
- 팬서스의 점수 구하기
- 두 사실을 확인하고 답 고르기