AMC 10 · 2007 · #13

학년 9 geometry-2dalgebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Point as the Answer

coordinate-geometrycompleting-the-squareoptimizationperpendicular-slopes convert-to-algebracompleting-the-square ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

쥐가 직선을 따라 달리다가 어느 지점에서 고정된 목표에 가까워지기를 멈추고 멀어지기 시작한다. 그 전환이 일어나는 점의 두 좌표의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

가까워지다가 멀어지는 전환은 거리가 가장 작아지는 곳에서 정확히 일어나므로, Tool #14(극단의 원리)가 이 문제의 뼈대다. 그 최솟값을 찾기 위해 Tool #4(변수 도입하기)로 쥐의 경로 전체를 하나의 수 x로 줄인다. 직선 위의 점은 x좌표만으로 완전히 결정되기 때문이다. 이어서 Tool #15(다르게 정리하기)로 거리 대신 거리의 제곱을 다룬다. 제곱근은 계산만 숨길 뿐이고, 제곱을 비교해도 거리의 순서는 그대로이므로, 문제는 제곱을 완성하면 꼭짓점이 바로 보이는 평범한 이차식이 된다. Tool #1(그림 그리기)은 빠른 풀이들이 빼먹는 조각을 담당한다 — 쥐가 직선을 따라 어느 쪽으로 달리는가. 이차식의 최솟값은 x=2에 있고 쥐는 x=4에서 출발하므로, 진행 방향이 쥐가 그 점에 도달하는지 여부 자체를 결정한다.

1STEP 1

쥐의 위치에 이름 붙이기

매개변수 하나가 직선 위 위치를 나타낸다.

P(x)=(x, 18-5x), P(4)=(4,-2)

2STEP 2

"위쪽"은 어느 쪽인가?

무엇보다 먼저 이동 방향을 확인해야 한다.

y=18-5x 증가 ⇔ x 감소; x: 4 → 3 → 2 → …

3STEP 3

거리의 제곱으로 재기

거리의 제곱을 쓰면 근호를 완전히 피한다.

D(x)=(x-12)²+(8-5x)²=(x²-24x+144)+(25x²-80x+64)=26x²-104x+208

4STEP 4

제곱 완성하기

완전제곱을 만들면 최저점이 나온다.

D(x)=26((x-2)²+4), D(2)=104

5STEP 5

골짜기와 이동 경로 맞추기

그 골짜기가 여정 안에 있어 실제로 전환점이다.

x:4↓ 2 → 가까워짐; x ＜ 2 → 멀어짐; (a,b)=(2,8), a+b=10

6STEP 6

직각으로 확인하기

직각이 확인해 주므로 합은 10, 보기 (B).

(C-F)·(1,-5)=(10)(1)+(2)(-5)=0; CP²=CF²+FP²=104+26(x-2)² → a+b=10 → (B)

정답

다섯 선택지를 한꺼번에 검사할 수 있다. (a,b)가 직선 위에 있으므로 b=-5a+18이고 따라서 a+b=-4a+18이다. 즉 각 선택지가 후보 점 하나씩을 지정한다. (A) 6→ a=3, 점 (3,3); (B) 10→ a=2, 점 (2,8); (C) 14→ a=1, 점 (1,13); (D) 18→ a=0, 점 (0,18); (E) 22→ a=-1, 점 (-1,23). (12,10)까지의 거리의 제곱은 각각 130, 104, 130, 208, 338이다. 최솟값은 (B) 하나뿐이고, (A)와 (C)가 130으로 같은 것은 x=2에 대한 포물선의 대칭성에서 예상되는 결과다. 추가 점검 두 가지도 통과한다: 쥐의 출발 지점에서의 거리의 제곱은 (4-12)²+(-2-10)²=208로 104보다 크므로 쥐는 실제로 가까워진다. 또 208은 x=0에서의 값과도 같은데, 이는 x=2에 대한 대칭성이 요구하는 그대로다. 최소 접근 거리 √(104)=2√(26)≈ 10.2는 출발 거리 √(208)≈ 14.4보다 충분히 작다.

💡핵심 정리

직선 경로를 따라가는 거리의 제곱은 바닥이 하나뿐인 포물선이므로, 뒤처지기 시작하는 순간은 경로가 목표와 직각으로 만나는 바로 그 점이다 — 애초에 그쪽을 향해 달리고 있었다면.

쥐의 위치에 이름 붙이기
"위쪽"은 어느 쪽인가?
거리의 제곱으로 재기
제곱 완성하기
골짜기와 이동 경로 맞추기
직각으로 확인하기