AMC 10 · 2007 · #15
학년 7 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
평균은 쉽다 — 어떤 n에 대해서도 (28+n)/5이다. 어려운 쪽은 중앙값인데, n이 기존 가운데보다 아래에 놓이는지, 그 안에 놓이는지, 위에 놓이는지에 따라 식 자체가 달라지기 때문이다. 그래서 이 문제의 뼈대는 Tool #2(빠짐없이 나열하기)다: 중앙값이 하나의 고정된 식이 되는 구간들로 수직선을 자르되, 그 자르기에 빈틈도 겹침도 없어야 한다. 빠뜨린 구간은 곧 빠뜨린 n이고, 문제는 모든 n의 합을 묻기 때문이다. 각 구간 안에서는 Tool #4(변수 도입하기)와 Tool #13(대수로 바꾸기)이 조건을 근이 정확히 하나인 일차방정식으로 줄여 준다. 그다음 Tool #6(추측하고 확인하기)이 대부분의 빠른 풀이가 건너뛰는 단계를 담당한다. 각 경우는 n이 어떤 구간에 있다고 가정한 뒤 그 가정으로 중앙값을 계산했다. 그렇게 나온 수는 자신이 가정했던 구간 안으로 실제로 되돌아와 앉을 때에만 진짜 해다. 이 왕복이 없으면 경우 나누기는 필요조건만 증명하고 충분조건은 끝내 증명하지 못한다.
평균을 단 한 번만 써 두기
평균은 한 번 써 두고 다시 쓸 수 있다.
평균은 합만 있으면 되므로 n의 자리를 옮겨도 값이 바뀌지 않는다.
6.SP.B.5Introduce A Variable중앙값은 6, n, 9 중 가운데 값
중앙값은 새 수의 위치에 따라 세 값 중 하나가 된다.
수 하나를 더해도 가운데는 한 칸밖에 밀리지 않으므로, 6과 9는 중앙값이 넘지 못하는 벽이 된다.
수를 하나 더해도 가운데는 한 칸만 움직이므로, 이미 아는 두 이웃이 벽 노릇을 한다.
▸ 왜?
중앙값은 목록을 순서대로 놓았을 때 가운데 있는 것이므로, 순위에만 매인다.
▸ 왜?
새 수가 그 둘에 견주어 어디에 놓이든, 순서가 이미 어느 값이 가운데를 차지할지 정한다.
경우 n ＜ 6: 중앙값은 6
낮은 경우는 2를 준다.
가운데 값이 6으로 고정되면 합이 30으로 강제되고, 그러면 n이 하나로 정해진다.
7.EE.B.4Convert To Algebra경우 6 ＜ n ＜ 9: 중앙값은 n
가운데 경우는 7을 준다.
어떤 수가 평균과 같다는 것은 나머지 수들의 평균도 그 수와 같다는 뜻이므로, 28이 n 네 개로 쪼개져야 한다.
7.EE.B.4Convert To Algebra경우 n ＞ 9: 중앙값은 9
높은 경우는 17을 준다.
n을 9 너머로 밀어내면 가운데는 9에 붙박이가 되고, 조절할 수 있는 것은 합뿐이다.
7.EE.B.4Convert To Algebra각 답을 자기 경우로 돌려보내기
각 값이 자기 경우 안에 들어가 셋 다 살아남는다.
자기 창문 밖의 수를 말한 경우는 아무것도 말하지 않은 것이다.
6.EE.B.5Guess And Check집합을 다시 세워 보고 더하기
더하면 26, 보기 (E).
다섯 수를 직접 적고 두 통계량을 읽어 보는 것이 후보가 진짜임을 보이는 가장 값싼 증명이다.
6.SP.B.5Guess And Check중앙값이 새 수가 어디에 놓이느냐에 달려 있을 때는 어느 구간도 놓치지 않도록 수직선을 나눠라 — 그런 다음 모든 답을 그것을 만들어 낸 경우로 되돌려 보내라. 자기 창문 밖의 수를 말한 경우는 아무것도 말하지 않은 것이니까.
- 평균을 단 한 번만 써 두기
- 중앙값은 6, n, 9 중 가운데 값
- 경우 n ＜ 6: 중앙값은 6
- 경우 6 ＜ n ＜ 9: 중앙값은 n
- 경우 n ＞ 9: 중앙값은 9
- 각 답을 자기 경우로 돌려보내기
- 집합을 다시 세워 보고 더하기
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