AMC 10 · 2007 · #19

학년 8 geometry-2dalgebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Point as the Answer
coordinate-geometryarea-trianglesabsolute-valueslope-intercept convert-to-algebracaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
어떤 점이 한 삼각형과 다른 삼각형에 동시에 정해진 넓이를 주어야 한다. 그런 점들의 첫 좌표의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
282
(B)
300
(C)
600
(D)
900
(E)
1200
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

들여다볼 그림이 애초에 없다. A는 하나의 점이 아니라 아직 모르는 점들의 집합이고, 답은 그 집합 위에서의 합이기 때문이다. 그래서 Tool #4(변수 도입하기)가 먼저다. A=(x,y)라 두고 두 넓이 조건을 순서쌍 (x,y)에 대한 두 조건으로 본다. 그다음 풀이 전체의 뼈대는 Tool #13(대수로 바꾸기)이며, 이 문제는 그 변환을 어떤 방식으로 하느냐에 전부 달려 있다. 각 넓이 조건은 그로부터 따라 나오기만 하는 식이 아니라 그것과 동치인 식으로 바꿔야 한다. 넓이가 2007이라는 조건은, 어떤 점에 대해 넓이가 2007일 때 정확히 그때만 참인 진술로 바뀌어야 한다. 그렇게 하면 각 조건은 평행한 두 직선을 나타내고, 해집합은 그런 두 쌍의 교차가 되어 추측이 아니라 확실한 계산으로 셀 수 있다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 번째 넓이를 손으로 계산 가능하게 만드는 기하 사실 하나를 제공한다. 기울어진 직선 위에 두 꼭짓점이 있는 삼각형은 수직 선분을 따라 쪼갤 수 있고, 그러면 지저분한 수직거리 대신 단순한 y좌표의 차이만 남는다. 이어서 Tool #15(다르게 정리하기)로 완성된 해집합을 그 대칭성의 관점에서 다시 읽어, 두 넓이를 한 번도 쓰지 않는 완전히 다른 경로로 같은 합을 얻는다. 이것이 진짜 검산이다. 마지막으로 Tool #3(가능성 지우기)으로 각 오답이 어떤 실수에서 나오는지 짝지어 본다.

1STEP 1

미지의 점에 이름 붙이고, 집합을 겨냥하기

점에 이름을 붙이고 해 집합 전체를 겨냥한다.

A=(x,y); S={(x,y) : [ABC]=2007이고 [ADE]=7002}를 구한 뒤 Σ_(x,y)∈ S x를 계산
2STEP 2

첫 번째 넓이가 y를 ± 18로 고정한다

첫 넓이가 높이를 두 값으로 고정한다.

[ABC]=1/2 · 223·|y| = 2007 ⇔ |y| = 4014/223 = 18 ⇔ y = 18 또는 y = -18
3STEP 3

직선 DE, 그리고 거기까지의 수직 간격

둘째 삼각형의 직선이 잴 수 있는 수직 간격을 준다.

기울기(DE)=(389-380)/(689-680)=1, DE: y=x-300, A'=(x, x-300), v=|AA'|=|y-x+300|
4STEP 4

AA'로 쪼개기: 두 번째 넓이는 9/2v

그 선분으로 쪼개면 둘째 넓이가 또 다른 두 직선이 된다.

[ADE]=9/2 |y-x+300| = 7002 ⇔ |x-y-300| = 14004/9 = 1556 ⇔ x = y+300± 1556
5STEP 5

두 쌍의 직선은 정확히 네 점에서 만난다

두 쌍의 직선이 정확히 네 점에서 만난다.

S={(1874,18), (-1238,18), (1838,-18), (-1274,-18)}
6STEP 6

네 점을 하나의 대칭으로 다시 읽기

대칭이 그것들을 짝지어 합이 한 번에 나온다.

σ(x,y)=(600-x,-y); σ(S)=S, P=(300,0)∉ S ⟹ Σ x = 2 · 600 = 4 · 300
7STEP 7

총합, 그리고 각 오답의 정체

더하면 1200, 보기 (E).

1874-1238+1838-1274 = 1200 ⟹ (E)
정답
1200
유도 과정을 믿는 대신 네 점을 직접 확인하자. 넷 모두 |y|=18이므로 [ABC]=1/2 · 223 · 18 = 2007이다. [ADE]는 9/2|y-x+300|로 확인한다. (1874,18)에서는 9/2|18-1874+300| = 9/2 · 1556 = 7002, (-1238,18)에서는 9/2|18+1238+300| = 9/2 · 1556 = 7002이고, (1838,-18)과 (-1274,-18)에서도 마찬가지다. 그중 하나는 그 공식을 쓰지 않고 감싸는 직사각형 계산으로 한 번 더 확인하자. A=(1874,18)에 대해 2[ADE] = |(680-1874)(389-18)-(689-1874)(380-18)| = |{-1194} · 371 + 1185 · 362| = |{-442974}+428970| = 14004이므로 [ADE]=7002이다. 대칭 짝짓기도 수치로 맞는다: 1874+(-1274)=600이고 (-1238)+1838=600이다. 규모도 타당하다. DE의 길이는 9√(2)≈ 12.7뿐인데 BC의 길이는 223이고, 그런데도 ADE의 넓이가 ABC의 세 배가 넘는다. 그렇다면 A는 직선 BC로부터의 거리 18에 비해 직선 DE로부터 어마어마하게 멀어야 하고, ± 1500 언저리의 x값이 바로 그 모습이다. 마지막으로 B,C,D,E는 그대로 두고 넓이만 223과 9로 줄인 축소판에 방법 전체를 시험하자. 그러면 |y|=2, |x-y-300|=2가 되어 x = 304, 300, 300, 296이 나오고, 합은 여전히 1200=4 · 300이다. 넓이가 합에 영향을 주지 않음이 확인된다. 이 축소판은 문제의 표현을 왜 확인해야 했는지도 드러낸다. 거기서는 서로 다른 두 해가 x좌표 300을 공유하므로, 서로 다른 값만 더하면 1200이 아니라 900이 된다. 실제 문제에서는 네 x값 1874,-1238,1838,-1274가 모두 다르므로 그런 애매함이 생기지 않는다.
💡핵심 정리

두 넓이 조건은 각각 A를 평행한 두 직선 위에 가두고, 그 두 쌍은 직선 BC와 직선 DE가 만나는 지점을 중심으로 대칭인 네 점에서 만나므로, 네 x좌표의 합은 그 지점의 x좌표의 네 배가 된다.

  • 미지의 점에 이름 붙이고, 집합을 겨냥하기
  • 첫 번째 넓이가 y를 ± 18로 고정한다
  • 직선 DE, 그리고 거기까지의 수직 간격
  • AA'로 쪼개기: 두 번째 넓이는 9/2v
  • 두 쌍의 직선은 정확히 네 점에서 만난다
  • 네 점을 하나의 대칭으로 다시 읽기
  • 총합, 그리고 각 오답의 정체

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