AMC 10 · 2007 · #23
학년 11 algebrageometry-2d답을 골라 클릭하세요.
세 그래프는 서로 다른 세 식처럼 보이지만, 사실은 하나의 곡선을 세로로 1배, 2배, 3배 늘인 것이다. Tool #15(다르게 정리하기)로 이 하나의 사실을 두 방향으로 읽는다. 세로선을 따라 위로 읽으면, 같은 x 위에서 세 높이는 L, 2L, 3L이므로 수직인 변 BC의 길이는 계산 없이 곧바로 |L|이 된다. 가로선을 따라 옆으로 읽으면, 같은 높이에서 앞의 두 곡선의 x좌표는 q²과 q이므로 수평인 변 AB가 이차방정식으로 바뀐다. Tool #1(그림 그리기)은 먼저 정사각형을 좌표에 고정해 '수평'과 '수직'을 식으로 만들고, 마지막에는 완성된 정사각형을 직접 그려 그것이 실제로 존재함을 보인다. Tool #3(가능성 지우기)은 로그의 정의역을 벗어나는 근과 선택지가 배제하는 밑을 걸러낸다. Tool #11(거꾸로 풀기)은 살아남은 로그 식을 다시 a의 거듭제곱으로 되돌린다.
정사각형을 좌표에 놓기
정사각형을 놓으면 꼭짓점이 좌표를 공유한다.
한 변이 수평이면 다음 변은 수직일 수밖에 없어서 정사각형이 좌표축과 나란해진다.
10.G-GPE.B.4Draw A Diagram같은 x 위에서 높이 비교하기
같은 위치에서 높이를 비교하면 로그 값 하나가 나온다.
같은 x 위의 높이가 L, 2L, 3L이므로 위쪽 두 높이의 차이는 정확히 L이다.
11.F-BF.B.3Organize Information In More Ways같은 높이에서 가로폭 비교하기
가로폭을 비교하면 한 좌표가 다른 것의 제곱임이 보인다.
2배 늘인 곡선에서 원래 곡선으로 되돌아가면 지수가 두 배가 되고, 지수가 두 배가 되면 x좌표는 제곱이 된다.
11.F-BF.B.4Organize Information In More Ways공통 x좌표 구하기
풀면 정의역 안의 근이 선택된다.
두 경우 중 하나는 실근이 없고, 다른 하나는 로그가 받아들일 수 있는 근이 딱 하나뿐이다.
9.A-REI.B.4Eliminate Possibilities로그를 되돌리기
로그를 되돌리면 후보 밑이 둘 남는다.
'log_a3 = 6'과 'a⁶ = 3'은 같은 문장을 두 가지 방식으로 말한 것이다.
로그가 6이라는 말과 밑의 6제곱이 3이라는 말은 같은 문장을 두 번 말한 것이다.
▸ 왜?
로그는 밑을 인수로 몇 번 쓰는지를 알려 주며, 그것이 바로 지수다.
▸ 왜?
1보다 큰 같은 밑의 두 거듭제곱은 지수가 같을 때만 같으므로, 그렇게 옮겨도 잃는 것이 없다.
밑을 거듭제곱근으로 바꾸기
거듭제곱근으로 쓰면 어느 것이 보기에 있는지 보인다.
여섯제곱근 두 개가 모두 식을 만족하지만, 선택지에 있는 것은 1보다 큰 쪽뿐이다.
11.N-RN.A.2Eliminate Possibilities정사각형을 그려 확인하기
정사각형을 그려 보면 3의 여섯제곱근이 확인된다, 보기 (A).
네 꼭짓점을 모두 적어 보면 '그래야 한다'가 '그렇다'로 바뀐다.
10.G-GPE.B.7Draw A Diagram세 그래프는 하나의 곡선을 1배, 2배, 3배 높인 것이므로, 정사각형의 수직인 변은 |log_aq|를 재고 수평인 변은 q와 q²을 견준다.
- 정사각형을 좌표에 놓기
- 같은 x 위에서 높이 비교하기
- 같은 높이에서 가로폭 비교하기
- 공통 x좌표 구하기
- 로그를 되돌리기
- 밑을 거듭제곱근으로 바꾸기
- 정사각형을 그려 확인하기