AMC 10 · 2007 · #8
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #1(그림 그리기): 시계를 열두 점이 같은 간격으로 찍힌 맨 원으로 다시 그리면, 별의 뾰족한 각이 꼭짓점은 원 위에 있고 두 변은 현인 각이라는 것이 눈에 보인다 — 정리가 붙어 있는 바로 그 배치이다. 도구 #15(다르게 정리하기): 시각을 0부터 11까지로 바꿔 붙이고 "시계 방향 다섯 칸"을 12를 법으로 5를 더하는 것으로 읽는다. 작도 규칙이 산술이 되고, 경로가 열두 눈금을 모두 지나 닫히는가 하는 물음이 나눗셈 문제가 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 이 문제는 사실 서로 다른 두 가지 일이고 그중 계산은 하나뿐이다. 첫째 일은 열두 뾰족한 각이 모두 같음을 보여 "각 꼭짓점에서의 각"이 애초에 하나의 수가 되게 하는 것이고, 둘째 일이 그중 하나를 재는 것이다. 첫째를 건너뛰고 한 꼭짓점만 재는 것이 빠른 논증의 빈틈이다 — 그것은 한 각이 30^°임을 증명할 뿐 모든 각이 그렇다는 것을 증명하지 않는다. 도구 #16(관점 바꾸기): 답을 정말로 다른 방식으로 확인하려면 각을 재는 일을 멈추고 별을 따라 걸으며 진행 방향이 얼마나 도는지를 본다. 이 경로는 회전과 보각만 쓰므로 주 경로가 기대는 정리에 기대지 않는다.
열두 등분 눈금은 한 시간이 30도
열두 등분 눈금이 한 칸을 30도로 만든다.
시계 문자판은 원을 열두 조각으로 똑같이 자른 것일 뿐이므로, 한 시간은 언제나 호 30도이다.
4.MD.C.5Draw A Diagram열둘을 다 지나야 경로가 닫힌다
사슬은 열둘 모두를 지난 뒤에야 닫힌다.
열두 눈금 위에서 다섯 칸씩 건너뛰면 하나도 빠뜨리지 않는데, 다섯과 열둘이 공약수를 갖지 않기 때문이다.
열두 눈금을 다섯씩 건너뛰면 아무 눈금도 놓치지 않는데, 5와 12는 공통된 인수가 없기 때문이다.
▸ 왜?
길은 온전한 바퀴 수를 채운 뒤에야 처음으로 돌아오며, 그것은 최소공배수에서 일어난다.
▸ 왜?
한 번 닫힌 걸음은 영원히 되풀이되므로, 지나는 모든 곳은 그 첫 주기 안에서 지나게 된다.
회전 한 번이 열두 각을 같게 만든다
회전이 모든 꼭짓점 각을 같게 만든다.
시계를 한 시간만큼 돌려도 별이 그대로이므로, 별의 어느 뾰족한 곳도 다른 곳과 다를 수 없다.
10.G-CO.A.3Identify Subproblems뾰족한 각은 두 시간 호 위의 원주각
꼭짓점은 두 칸 호 위의 원주각이라 30도다.
꼭짓점이 원 위에 앉은 각은 건너편 호를 실제 크기의 절반으로 본다.
10.G-C.A.2Draw A Diagram원주각 정리 없이 같은 답 얻기
회전 논증도 원주각 정리 없이 30을 확인해 준다, 보기 (C).
별을 따라 걸으면 지점마다 백오십 도씩 꺾이고, 일직선에서 남은 몫이 삼십 도짜리 뾰족한 부분이다.
7.G.B.5Change Focus Count The Complement꼭짓점이 원 위에 앉은 각은 건너편 호를 절반 크기로 보므로, 별의 뾰족한 각은 그것이 마주 보는 두 시간짜리 간격의 절반인 삼십 도이다 — 그리고 시계를 삼십 도 한 번 돌리는 것으로 나머지 뾰족한 곳들도 모두 같음이 증명된다.
- 열두 등분 눈금은 한 시간이 30도
- 열둘을 다 지나야 경로가 닫힌다
- 회전 한 번이 열두 각을 같게 만든다
- 뾰족한 각은 두 시간 호 위의 원주각
- 원주각 정리 없이 같은 답 얻기