AMC 10 · 2007 · #16

학년 8 countinggeometry-3d
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type
rotation-isometrystars-and-barsspatial-visualization systematic-enumerationsymmetry-argument ↑ 선수 지식: combinations-basicspatial-visualization
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정사면체의 네 면을 각각 세 색 중 하나로 칠한다. 돌려서 같아지는 칠은 같은 것으로 센다. 서로 다른 칠의 개수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
15
(B)
18
(C)
27
(D)
54
(E)
81
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

칠하기에 붙일 자연스러운 이름표는 색깔 개수, 즉 빨강 몇 면, 흰색 몇 면, 파랑 몇 면인지이다. 가능한 개수 조합을 모두 나열하는 것은 짧은 나열 작업이다(도구 #2). 그런데 이름표로 개수를 세려면 그 이름표가 양방향으로 정확해야 하는데, 쉬운 쪽은 한 방향뿐이다. 회전이 개수 조합을 보존한다는 것은 분명하므로 서로 다른 조합끼리는 혼동될 수 없다. 문제는 그 역, 즉 같은 조합이면 반드시 같아 보인다는 주장이다. 정사면체의 회전은 12개뿐인데 네 면의 재배열은 24가지이기 때문에 이 주장은 증명해야 한다. 그래서 계획은 이렇다: 목록을 만들고, 열두 가지 회전을 하나하나 확인한 뒤(도구 #10), 반복되는 색과 반회전을 이용해 빠진 절반을 메운다(도구 #17). 마지막으로 선택지를 훑어보면(도구 #3) 어떤 지름길이 어떤 함정을 만드는지가 드러난다.

1STEP 1

회전이 바꿀 수 있는 것

회전은 각 색의 개수를 바꾸지 않는다.

r+w+b=4인 (r,w,b)는 모든 회전에 대해 변하지 않는다
2STEP 2

색깔 개수 조합 모두 나열하기

모든 개수 조합을 나열하면 15가지다.

3+6+3+3=15=C(6, 2)
3STEP 3

어떤 재배열이 회전인가

면의 모든 재배열이 회전은 아니다.

회전은 1+8+3=12개, 면의 재배열은 4!=24가지
4STEP 4

반복되는 색이 빈틈을 메운다

되풀이된 색이 빈틈을 메우는 맞바꿈을 제공한다.

면 4개, 색 3가지 → 두 면이 같은 색이고, 그 둘을 맞바꾸는 반회전은 나머지 두 면도 맞바꾼다
5STEP 5

분류를 세고 답 내기

그래서 개수 조합의 수가 답인 15다, 보기 (E).

3⁴=81이고 81/12=6.75는 정수가 아니므로, 답은 개수 조합의 수 15이다
정답
15
81가지 이름표 붙은 칠하기가 크기 12 이하의 묶음으로 나뉘므로 답은 81/12=6.75와 81 사이여야 하고, 15는 이를 만족한다. 함정 선택지는 묶지 않은 값들이다. 81=3⁴은 회전을 아예 무시한 값이고, 27=81/3은 엉뚱한 수로 나눈 값이다. 반복되는 색을 쓴 단계가 장식이 아니라 핵심임을 보여 주는 더 날카로운 검증도 있다. 같은 논증을 색이 3가지가 아니라 4가지일 때로 돌려 보자. 개수 조합의 수는 C(7, 3)=35가 되지만, 정직하게 센 분류의 수는 36이다. 남는 하나는 네 면이 모두 다른 색인 칠하기이다. 색이 4가지면 같은 색인 면이 없어 공짜 맞바꿈을 쓸 수 없고, 그 칠하기는 실제로 어떤 회전으로도 겹치지 않는 두 거울상 형태로 갈라진다. 색이 3가지일 때는 비둘기집 원리가 바로 그 상황을 막아 주므로 여기서는 개수 조합 세기가 옳다.
💡핵심 정리

각 색이 몇 면에 쓰였는지를 세라. 색이 세 가지인 정사면체에서는 그 개수 조합이 전부를 말해 주는데, 같은 색인 두 면은 언제나 실제 회전으로 맞바꿀 수 있기 때문이다.

  • 회전이 바꿀 수 있는 것
  • 색깔 개수 조합 모두 나열하기
  • 어떤 재배열이 회전인가
  • 반복되는 색이 빈틈을 메운다
  • 분류를 세고 답 내기

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