AMC 10 · 2007 · #20
학년 9 geometry-2dnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
문제가 최솟값을 묻고 있으므로 마무리는 도구 #14가 맡는다. 최솟값 주장에는 두 부분이 있다. 어떤 정당한 네 쌍도 뚫을 수 없는 하한, 그리고 그 하한에 실제로 닿는 증인이다. 둘 중 하나라도 빠지면 답은 증명되지 않은 채로 남는다. 그 앞은 모두 준비 작업이다. 두 도형은 같은 두 기울기로 같은 방식으로 만들어졌으니, 그림 두 개를 각각 분석하지 말고 작은 문제 하나를 한 번만 풀어(도구 #7) 재사용하자. 그 작은 문제는 y=ax+p₁, y=ax+p₂, y=bx+q₁, y=bx+q₂가 자르는 평행사변형의 넓이이다. 그 공식을 얻기 위해 도형을 그려 보고(도구 #1), 계산을 싸게 만들어 주는 구조 하나를 알아채자. 절편이 같은 두 직선은 y축 위에서 만나므로 대각선 하나가 통째로 y축에 놓이고, 평행사변형은 밑변을 공유하는 두 삼각형으로 쪼개진다. 공식을 손에 넣으면 기하는 사라지고 정수만 남는다(도구 #13). c,d 중 작은 쪽과 간격 |a-b|에 이름을 붙이면(도구 #4) 두 넓이 조건이 하나의 정수방정식이 되고, 그 해집합을 전부 적어 낼 수 있게 된다. 정직한 최소화가 가능해지는 지점이 바로 여기다.
꼭짓점이 어디 있는지 찾기
직선 쌍을 풀면 꼭짓점이 정해진다.
절편이 같은 두 직선은 y축 위에서 만나므로, y축이 대각선 하나를 통째로 건네준다.
8.EE.C.8Draw A Diagram대각선을 넓이로 바꾸기
각 넓이가 상수만의 깔끔한 식이 된다.
대각선 하나와 높이 하나면 네 직선이 두 번째 그림에도 그대로 쓸 수 있는 공식 하나로 접힌다.
6.G.A.1Identify Subproblems두 넓이를 비교하기
둘을 비교하면 두 상수 사이의 비가 고정된다.
두 넓이를 나누면 기울기가 완전히 지워지고 절편에 대한 순수한 진술만 남는다.
9.A-SSE.A.2Convert To Algebra3의 배수임을 강제하기
나누어떨어짐 논증이 하나를 3의 배수로 만든다.
제곱수가 3 × 3을 품으려면 제곱되기 전의 수가 이미 3을 품고 있어야 한다.
제곱수가 9라는 인수를 지니려면, 제곱되기 전의 수가 이미 3을 지니고 있어야 한다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 제곱수 안의 소수는 밑에서 와야 한다.
▸ 왜?
제곱은 밑의 각 인수를 두 번 쓰므로, 소수는 제곱수 안에 짝수 개로만 나타난다.
더 작은 값이 불가능함을 증명하기
모든 부분을 제한하면 하한 16이 나온다.
합의 두 조각이 모두 k와 함께 커지므로, 살펴볼 가치가 있는 곳은 가장 작은 k뿐이다.
9.A-CED.A.3Extreme Principle16에 닿는 네 쌍 제시하기
구체적인 네 쌍이 거기에 닿으므로 답은 16, 보기 (D).
최솟값에는 증인이 필요하다. 증인이 없으면 무엇이 불가능한지만 보였을 뿐 무엇이 실제로 일어나는지는 보이지 못한 것이다.
9.A-CED.A.3Extreme Principle두 그림에 모두 쓸 수 있는 넓이 공식을 하나 유도한 뒤, '가장 작은 값' 문제는 두 번 마무리하라. 더 작은 값이 불가능함을 증명하고, 주장한 값에 실제로 닿는 예를 하나 만들어라.
- 꼭짓점이 어디 있는지 찾기
- 대각선을 넓이로 바꾸기
- 두 넓이를 비교하기
- 3의 배수임을 강제하기
- 더 작은 값이 불가능함을 증명하기
- 16에 닿는 네 쌍 제시하기