AMC 10 · 2007 · #22

학년 10 geometry-2d

midpoint-formulasimilar-figuresdilation coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: midpoint-formulaarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

두 점이 같은 삼각형 경로를 같은 속력으로 서로 다른 곳에서 출발해 돈다. 두 점을 잇는 선분의 중점이 닫힌 경로를 그린다. 그 안의 넓이와 삼각형 넓이의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{16}$

(B)

$\frac{1}{12}$

(C)

$\frac{1}{9}$

(D)

$\frac{1}{6}$

(E)

$\frac{1}{4}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

어려운 부분은 계산이 아니라, 문제가 정체를 알 수 없는 곡선을 던져 준다는 점이다. 그러니 모양을 추측하지 말자. 시계 t와 경로를 나타내는 함수 f(t) 하나를 도입하면(도구 #4) 두 입자가 식이 되고 따라가는 점은 M(t)가 된다. 그러면 구조적인 사실 두 개가 저절로 나온다. 첫째, M은 반 바퀴마다 반복된다(도구 #5). 이것이 경로의 총량을 묶어 준다. 둘째, M은 입자가 꼭짓점을 돌 때만 꺾일 수 있으므로 그 시각들에서 시간 구간을 쪼갠다(도구 #7). 꺾이는 시각의 개수가 곧 직선 조각의 개수이고, 이것이 영역이 곡선 도형이 아니라 삼각형임을 증명해 준다. 그다음에야 좌표를 넣어(도구 #1) 재면 된다. 마지막으로 일부러 쉬운 삼각형에서 전체 계산을 다시 해서(도구 #9) 값을 검산하고, 어떤 가정이 실제로 쓰였는지도 드러낸다.

1STEP 1

시계 하나, 경로 함수 하나

하나의 경로 함수와 시간 차가 두 점을 서술한다.

P(t)=f(t), Q(t)=f (t+3/2), M(t)=(P(t)+Q(t))/2

2STEP 2

경로는 반 바퀴 만에 닫힌다

그려지는 경로는 반 바퀴 만에 닫힌다.

M (t+3/2)=(f (t+3/2)+f(t+3))/2=(f (t+3/2)+f(t))/2=M(t)

3STEP 3

꼭짓점 사이에서 중점은 직선으로 간다

꼭짓점 사이에서 중점이 직선으로 가므로 경로가 삼각형이다.

[0,3/2] 안의 꺾이는 시각: t=0, 1/2, 1 ⟹ 직선 3조각, t=3/2에서 닫힘

4STEP 4

꺾인 점 세 개의 위치

세 꼭짓점을 찾으면 모양이 확정된다.

M(0)=(3/8,√(3)/8), M (1/2)=(1/2,√(3)/4), M(1)=(5/8,√(3)/8)

5STEP 5

1/4로 줄인 닮은꼴

사분의 일로 줄인 닮은꼴이라 비는 1/16이다.

R의 한 변=1/4, [R]/([△ ABC])=(1/4)²=1/16

6STEP 6

늘인 삼각형에서 다시 확인하기

늘인 삼각형도 같은 비를 주므로 답은 1/16, 보기 (D).

[R]/([△ ABC])=(1/2·1/4·1/4)/1/2=1/32/1/2=1/16

정답

1/16

경로 위의 모든 점은 △ ABC 안의 두 점의 중점이므로 경로는 삼각형 안에 있고 비는 1보다 작아야 한다. 1/16은 이 조건을 통과한다. 더 날카로운 구조적 검산은 회전을 쓴다. 시계를 정확히 1만큼 돌리면 A→ B→ C→ A가 되므로, △ ABC의 중심 O에 대한 120° 회전을 ρ라 할 때 모든 t에 대해 f(t+1)=ρ(f(t))이다. 평균을 취하면 M(t+1)=ρ(M(t))이므로 R는 ρ에 의해 자기 자신으로 옮겨져야 한다. 120° 회전으로 자기 자신이 되는 삼각형은 정삼각형이면서 중심이 O여야 하는데, 둘 다 성립한다. 꺾인 점 세 개의 평균은 (1/2,√(3)/6)으로 정확히 △ ABC의 무게중심이고, 세 변이 모두 1/4로 나왔다. 오답들은 흔한 실수에 대응한다. (E) 1/4는 중점삼각형으로, 경로가 세 변의 중점을 지난다고 믿을 때 나온다. 하지만 지나지 않는다. 경로 위의 모든 점은 AB로부터 높이가 적어도 √(3)/8인데 AB의 중점은 높이가 0이다. (C) 1/9와 (D) 1/6은 닮음비를 1/3로 짐작하거나, 제곱하지 않고 길이의 비에서 멈출 때 나온다.

💡핵심 정리

한결같이 걷는 두 사람의 중점도 한결같이 걷는 사람이므로, 둘 중 하나가 모퉁이를 돌 때만 방향이 꺾인다. 그런 꺾임이 모두 세 번이라 ABC보다 딱 1/4만큼 작은 삼각형이 그려지고, 넓이는 1/16이 된다.

시계 하나, 경로 함수 하나
경로는 반 바퀴 만에 닫힌다
꼭짓점 사이에서 중점은 직선으로 간다
꺾인 점 세 개의 위치
1/4로 줄인 닮은꼴
늘인 삼각형에서 다시 확인하기