AMC 10 · 2007 · #25

학년 10 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

spatial-visualizationpythagorean-theoremarea-triangles coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

공간의 다섯 점이 길이가 같은 다섯 선분으로 닫힌 고리를 이루고 직각인 꼭짓점이 셋이다. 한 선분이 고리 안 삼각형의 평면과 평행하다. 삼각형 하나의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{2}$

(B)

$\sqrt{3}$

(C)

(D)

$\sqrt{5}$

(E)

$\sqrt{6}$

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

구부러진 3차원 고리는 머릿속에 그리기 아주 어렵고, 그림을 그리는 것 자체가 위험한 지점이기도 하다. 조건에 맞는 모양 하나를 그려서 재어 보면 그 모양이 가능하다는 것만 보였을 뿐, 그것이 유일한 모양이라는 것은 보이지 못한다. 만약 다른 모양도 조건에 맞는다면 이 문제의 답은 하나로 정해지지 않는다. 그래서 안전한 방법은 Tool #13 (대수로 바꾸기)이다. 좌표를 놓고 모든 조건을 하나도 빠짐없이 식으로 바꾼 다음, 그림을 추측하는 대신 연립방정식을 푼다. B 의 직각은 B 를 원점에 두고 BA와 BC를 두 축 위에 놓는 좌표계를 그대로 제공하고 (그 좌표계를 잡아도 되는 이유는 Tool #17로 본다), 평행 조건은 "D 와 E 의 높이가 같다"로 바뀌며 (그 높이를 h 로 이름 붙이는 것이 Tool #4), 각 직각은 피타고라스 식 하나로 바뀐다 (Tool #7이 고리를 그런 작은 식들로 쪼갠다). 연립방정식을 풀면 가능한 경우가 몇 개밖에 남지 않고, 그 경우들이 모두 같은 삼각형을 준다.

1STEP 1

직각을 좌표계의 기준으로 삼기

직각을 기준으로 삼으면 깔끔한 좌표가 된다.

B=(0,0,0), A=(2,0,0), C=(0,2,0), 평면 ABC: z=0

2STEP 2

평행은 높이가 같다는 뜻

평행이라는 것은 두 점의 높이가 같다는 뜻이다.

E=(e₁,e₂,h), D=(d₁,d₂,h)

3STEP 3

직각을 길이로 바꾸기

각 직각이 피타고라스 정리로 길이가 된다.

AD²=EA²+ED²=4+4=8, CE²=DC²+DE²=4+4=8

4STEP 4

E와 D에 대한 식 쓰기

식을 쓰면 각 점이 관계 하나로 묶인다.

EA²=4: S-4e₁+4=4→ S=4e₁; CE²=8: S-4e₂+4=8→ S=4e₂+4 → e₁=e₂+1 ; CD²=4: T-4d₂+4=4→ T=4d₂; AD²=8: T-4d₁+4=8→ T=4d₁+4 → d₂=d₁+1

5STEP 5

DE가 갈 수 있는 방향은 둘뿐

그 선분이 가질 수 있는 방향은 둘뿐이다.

u²+(u+2)²=4 → 2u²+4u=0 → 2u(u+2)=0 → (u,v)=(0,2) 또는 (-2,0) ; → D-E=(0,2,0)=BC 또는 D-E=(-2,0,0)=AB

6STEP 6

첫 번째 경우를 정확히 마무리하기

첫 경우를 따라가면 모든 좌표가 나온다.

E=(1,0,√(3)), D=(1,2,√(3)), BE=√(4)=2, BD=√(8)=2√(2), DE=2

7STEP 7

삼각형을 알아보고 끝내기

길이가 또 다른 직각을 드러내 넓이는 2, 보기 (C).

2²+2²=(2√(2))² → 길이 2 인 두 변 사이가 직각 ; [BDE]=1/2 · 2 · 2=2 → (C)

정답

첫째, 찾은 배치는 바라기만 한 것이 아니라 실제로 존재한다. A=(2,0,0), B=(0,0,0), C=(0,2,0), E=(1,0,√(3)), D=(1,2,√(3)) 에서 다섯 길이가 모두 2이고, 세 내적 BA·BC, DC·DE, ED·EA가 각각 0 이며, DE=(0,-2,0) 에는 수직 성분이 없고 D,E 는 높이 √(3) ≠ 0에 있다. 즉 DE는 △ ABC 의 평면과 정말로 평행하며 그 평면 안에 들어 있지도 않다. 둘째, 더 중요한 점으로, 답은 가능한 값이 아니라 강제된 값이다. 유도의 모든 줄이 동치 변형이거나 빠짐없는 경우 분리였으므로 이 좌표계에서의 해는 두 경우 (각각 h=±√(3)) 뿐이고, 그 모두가 넓이 2 인 2,2,2√(2) 삼각형을 준다. 셋째, 평행 조건은 실제로 결정적이어서 그것을 쓰지 않는 논증은 불완전하다. 자유도를 세어 보면 공간의 다섯 점은 15-6=9의 자유도를 갖는데 다섯 길이와 세 직각은 식을 8 개만 주므로 자유 매개변수 하나가 남고, 그 매개변수는 실제로 답을 바꾼다. 구체적으로 E=((3+√(6))/2,(1+√(6))/2,-1/√(2))와 D=E+(-1,1,√(2))는 다섯 길이 조건과 세 직각 조건을 모두 만족하지만 DE가 평면 밖으로 기울어져 있고, △ BDE 의 넓이는 √(2)+√(3)≈ 3.15로 선택지에 있지도 않다. 끝으로 2 라는 크기는 타당하다. △ BDE 는 길이 2 인 변을 가지고 나머지 두 꼭짓점이 2 또는 2√(2) 만큼 떨어져 있으므로 넓이가 2 근처인 것이 자연스럽고, √(2)≈ 1.41 이나 √(6)≈ 2.45는 눈에 띄게 더 납작하거나 더 통통한 삼각형이어야 한다.

💡핵심 정리

공간의 도형이 너무 얽혀서 그리기 어려울 때는 좌표축 위에 올려놓고 모든 길이와 직각을 식으로 바꾸면 된다. 여기서는 그 식들이 DE에 가능한 방향을 둘만 남기고, 둘 다 두 변이 2, 2 인 같은 직각삼각형을 준다.

직각을 좌표계의 기준으로 삼기
평행은 높이가 같다는 뜻
직각을 길이로 바꾸기
E와 D에 대한 식 쓰기
DE가 갈 수 있는 방향은 둘뿐
첫 번째 경우를 정확히 마무리하기
삼각형을 알아보고 끝내기