AMC 10 · 2007 · #3

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
isosceles-triangleangle-sum-triangleangles-around-a-point identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleisosceles-triangle
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
세 꼭짓점이 원 위에 있는 삼각형 안에 원의 중심이 있다. 중심각 둘이 주어져 있다. 두 각이 공유하는 꼭짓점에서 삼각형의 각을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
35
(B)
40
(C)
45
(D)
50
(E)
60
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

구하려는 ∠ ABC는 직접 주어져 있지 않지만, 반지름 OB가 이 각을 두 조각으로 자른다. 그리고 각 조각은 꼭지각이 주어진 이등변삼각형의 밑각이다. 이것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다. 삼각형 AOB를 풀고, 삼각형 BOC를 푼 뒤 더한다. 도구 #1(그림 그리기)은 배치를 읽어내는 핵심 역할을 한다. 세 반지름 OA, OB, OC가 O에서 서로 다른 세 방향으로 뻗고 O가 삼각형 안에 있다는 사실이, 두 조각을 빼는 것이 아니라 더해도 된다는 근거이다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그 읽기를 검증한다. A와 C가 OB의 같은 쪽에 있는 다른 배치는 10^°를 주는데, 이는 보기 어디에도 없다.

1STEP 1

세 반지름과 두 이등변삼각형

세 반지름이 이등변삼각형 둘을 만든다.

OA = OB = OC = r
2STEP 2

삼각형 AOB의 밑각

첫 중심각이 밑각 20도를 준다.

∠ ABO = (180^° - 140^°)/2 = 40^°/2 = 20^°
3STEP 3

삼각형 BOC의 밑각

둘째는 밑각 30도를 준다.

∠ OBC = (180^° - 120^°)/2 = 60^°/2 = 30^°
4STEP 4

B에서 두 조각을 더하기

중심이 안에 있어 조각이 더해져 50이 된다, 보기 (D).

∠ ABC = ∠ ABO + ∠ OBC = 20^° + 30^° = 50^° → (D)
정답
50
먼저 이 배치가 실제로 존재하는지 확인한다. 단순히 있다고 가정하는 것이 아니다. 중심에서 잰 방향이 각각 0^°, 140^°, 240^°인 원 위의 점을 B, A, C로 잡자. 그러면 ∠ AOB = 140^°이고 ∠ BOC = 360^° - 240^° = 120^°로 조건을 만족하며, 나머지 중심각은 ∠ AOC = 240^° - 140^° = 100^°이므로 셋이 360^°를 채운다. 다음으로 같은 이등변 규칙으로 삼각형 전체를 마저 구해 아귀가 맞는지 본다. 삼각형 AOC는 꼭지각이 100^°이므로 밑각은 각각 40^°이다. 따라서 ∠ BAC = 20^° + 40^° = 60^°, ∠ BCA = 30^° + 40^° = 70^°이고 50^° + 60^° + 70^° = 180^°이다. 세 각이 모두 예각으로 나오는데, 삼각형의 외심이 내부에 있을 필요충분조건이 바로 예각삼각형이라는 것이다. 그러므로 그림은 가정된 것이 아니라 그 자체로 앞뒤가 맞는다. 끝으로 50^°는 B에서의 각으로 그럴듯한 크기다. ∠ AOB와 ∠ BOC가 가장 큰 두 중심각이므로 ∠ AOC가 가장 작고, 따라서 B의 각은 세 내각 중 가운데 크기여야 하는데 실제로 그렇다.
💡핵심 정리

반지름은 모두 길이가 같으므로 중심과 두 꼭짓점은 언제나 이등변삼각형을 이룬다. 그리고 중심이 안쪽에 있으면 꼭짓점으로 가는 반지름이 그 모서리를 두 밑각으로 갈라 주므로 그냥 더하면 된다.

  • 세 반지름과 두 이등변삼각형
  • 삼각형 AOB의 밑각
  • 삼각형 BOC의 밑각
  • B에서 두 조각을 더하기

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