AMC 10 · 2007 · #8
학년 8 algebra linear-equations-two-varsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
아버지의 나이가 세 자녀 나이의 합과 같고, 몇 해 전에는 그 합의 두 배였다. 아버지의 나이와 그 햇수의 비를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
2
(B)
3
(C)
4
(D)
5
(E)
6
풀이 과정
전략 변수 도입하기
문제가 이미 두 문자 T와 N을 주었으므로, 나머지 양들을 이 문자들로 나타내는 것(도구 #4)이 자연스러운 첫걸음이다. 이 도구가 열어 주는 핵심은 'N년 전'이 되면 세 자녀가 각각 N년씩 뒤로 가므로, 자녀들의 나이 합은 N이 아니라 3N만큼 줄어든다는 점이다. 모든 나이를 T와 N으로 쓰고 나면, '그때 톰의 나이는 그때 자녀들 합의 두 배'라는 한 문장이 하나의 방정식이 되고(도구 #13, 대수로 바꾸기), 이를 풀어 비 T/N을 구한다.
1STEP 1
모든 나이를 T와 N으로 쓰기
과거로 갈 때 자녀들의 합이 세 배 빠르게 줄어든다.
그때 톰=T-N, 그때 자녀들 합=T-3N
세 아이가 각각 N년씩 뒤로 가므로 셋의 나이 합은 한 사람의 세 배 속도인 3N만큼 줄어든다.
세 아이가 저마다 같은 햇수만큼 거슬러 가면, 나이의 합은 세 배 빠르게 줄어든다.
▸ 왜?
같은 걸음이 아이마다 한 번씩 되풀이되는 것은 같은 묶음을 센 것이며, 곱셈이 그것을 기록한다.
곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
▸ 왜?
모두가 같은 만큼 밀리므로, 나이 사이의 차는 이전과 정확히 같다.
둘을 같이 옮기면 차는 그대로두 점을 수직선에서 같은 거리만큼 밀면 둘 사이의 간격은 결코 변하지 않는다.
2STEP 2
문장을 방정식으로 바꾸기
과거에 관한 문장이 하나의 방정식이 된다.
T-N=2(T-3N)=2T-6N
'두 배였다'는 한쪽이 다른 쪽의 두 배라는 뜻이므로, 곧 2라는 인수가 붙은 등호이다.
7.EE.A.1Convert To Algebra3STEP 3
비 T/N 구하기
풀면 비는 5, 보기 (D).
T-N=2T-6N → 5N=T → T/N=5
T끼리, N끼리 반대쪽으로 모으면 두 문자 사이의 깔끔한 관계만 남고, 비를 구하는 데는 그것으로 충분하다.
8.EE.C.7Introduce A Variable정답
5
T=5N에 맞는 수를 골라 보자. N=6이라 하면 T=30이다: 지금 톰은 30살이고 세 자녀의 나이 합도 30이다. 6년 전 톰은 24살이었고, 자녀들 합은 30-3(6)=12였다. 실제로 24=2 × 12이므로 조건이 성립하고 T/N=30/6=5이다. 세 자녀를 잊어버린 유혹적인 오답 — T-N=2(T-N) — 을 쓰면 T=N이 강요되어, 톰의 온 나이가 N년 안에 지나갔다는 불가능한 결론이 나오므로 3N만큼 줄어든다는 점이 필수임을 확인해 준다.
💡핵심 정리
나이 문제에서 시간을 되감으면 모든 사람이 그만큼 나이가 줄어드므로, 세 자녀는 세 배로 줄어든다 — 방정식을 세우기 전에 전부 세어라.
- 모든 나이를 T와 N으로 쓰기
- 문장을 방정식으로 바꾸기
- 비 T/N 구하기