AMC 10 · 2008 · #14

학년 9 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates
absolute-valuecoordinate-geometryarea-triangles caseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: absolute-value
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 영역이 두 절댓값의 합이 정해진 값 이하인 모든 점이다. 그 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
$\frac{7}{2}$
(C)
4
(D)
$\frac{9}{2}$
(E)
5
풀이 과정
전략 변수 도입하기

절댓값 기호는 사실 부호에 따른 경우 나누기를 감추고 있고, 그 경우들을 드러내는 가장 빠른 방법은 절댓값이 실제로 재고 있는 양에 이름을 붙이는 것입니다. 먼저 양수 계수를 기호 밖으로 꺼내고, 평행이동한 좌표를 u와 v로 두면 두 절댓값은 |u| 와 |v| 가 됩니다. 그러면 조건은 원점을 중심으로 하는 3|u|+2|v| ≤ 3이 됩니다. 여기서 u와 v의 부호로 경우를 나누면 영역이 네 조각으로 갈라지고, 각 조각은 평범한 일차부등식이 지배합니다. 일차부등식의 경계는 직선이므로, 영역이 어떤 모양이라고 짐작하는 대신 각 조각이 삼각형임을 확인한 뒤 네 삼각형을 더합니다.

1STEP 1

계수를 절댓값 밖으로 꺼내기

계수를 꺼내면 깔끔한 절댓값이 남는다.

|3x-18|+|2y+7| = 3|x-6| + 2|y+7/2| ≤ 3
2STEP 2

영역을 원점으로 밀어 옮기기

원점으로 옮기는 데 넓이 손실이 없다.

u = x-6, v = y+7/2 ⟹ 3|u| + 2|v| ≤ 3
3STEP 3

부호를 정하면 절댓값이 사라진다

부호를 정하면 사분의 일이 단순한 삼각형이 된다.

u ≥ 0, v ≥ 0: 3u+2v ≤ 3, 꼭짓점 (0,0), (1,0), (0,3/2)
4STEP 4

나머지 세 사분면은 거울상

나머지 셋은 거울상이다.

3|{-u}|+2|v| = 3|u|+2|v| = 3|u|+2|{-v}|
5STEP 5

네 삼각형 더하기

넷을 더하면 3, 보기 (E).

4·1/2 · 1·3/2 = 4·3/4 = 3
정답
3
영역의 모든 점은 3|u| ≤ 3이고 2|v| ≤ 3 이므로, u가 -1부터 1까지, v가 -3/2부터 3/2 까지인 직사각형 안에 전부 들어갑니다. 그 직사각형의 넓이는 2 곱하기 3인 6입니다. 답 3은 그 절반으로, 직사각형의 각 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 네 꼭짓점 도형에서 기대되는 값과 정확히 같습니다. 완전히 다른 두 번째 확인도 있습니다. |u| ≤ 1 인 u를 하나 고정하면 2|v| ≤ 3-3|u| 이므로 허용되는 v는 길이가 3-3|u| 인 선분을 이룹니다. 이 길이는 u=0 에서 3이고 u=± 1 에서 0까지 직선으로 줄어들므로, 선분을 쌓으면 밑변 2, 높이 3인 삼각형이 되어 1/2(2)(3)=3입니다. 두 확인 모두 (A) 3과 일치합니다.
💡핵심 정리

절댓값 기호는 부호에 따른 경우 나누기를 감춘 것입니다. 부호를 정하면 기호가 사라지고, 모서리마다 평범한 삼각형이 하나씩 남으며, 그것들을 더하기만 하면 됩니다.

  • 계수를 절댓값 밖으로 꺼내기
  • 영역을 원점으로 밀어 옮기기
  • 부호를 정하면 절댓값이 사라진다
  • 나머지 세 사분면은 거울상
  • 네 삼각형 더하기

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