AMC 10 · 2008 · #20

학년 10 geometry-2d

inradiusangle-bisector-theoremarea-triangles identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직각 꼭짓점에서 나온 선분이 그 각을 이등분하며 3-4-5 삼각형을 두 조각으로 나눈다. 각 조각에 내접원이 하나씩 있다. 두 반지름의 비를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{28}\left(10-\sqrt{2}\right)$

(B)

$\frac{3}{56}\left(10-\sqrt{2}\right)$

(C)

$\frac{1}{14}\left(10-\sqrt{2}\right)$

(D)

$\frac{5}{56}\left(10-\sqrt{2}\right)$

(E)

$\frac{3}{28}\left(10-\sqrt{2}\right)$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

내접원의 반지름은 그림에서 바로 읽어 낼 수 있는 길이가 아니다. 그래서 첫 번째 할 일은 그것을 잴 수 있는 것으로 바꾸는 것이다. [△]=rs라는 항등식이 바로 그 일을 한다. 이 식은 r_a/r_b를 넓이의 비와 뒤집힌 반둘레의 비의 곱으로 바꿔 준다. 그런데 이 둘은 모두 같은 세 수 AD, BD, CD만 있으면 되므로, 문제 전체가 "D의 위치를 찾아라"라는 작은 문제 하나로 줄어든다. 그리고 그 작은 문제에는 삼각비가 필요 없는 손잡이가 있다. 각의 이등분선 위의 점은 그 각의 두 변에서 같은 거리에 있기 때문이다. 그 거리 하나를 t라고 이름 붙이면 넓이도, 이 선분의 길이도, 밑변 두 개도 몇 줄 만에 나온다. 마지막에 크기를 어림해 두면 대수 계산이 옳은지 스스로 검사할 수 있다.

1STEP 1

직각이 어디 있는지 찾기

변의 길이가 직각과 전체 넓이를 드러낸다.

3²+4²=25=5² ⟹ ∠ ACB=90°, [ABC]=1/2 · 3 · 4=6

2STEP 2

이등분선을 등거리선으로 읽기

이등분선은 두 변까지 같은 거리를 유지한다.

△ CPD ≅ △ CQD ⟹ DP=DQ=t

3STEP 3

넓이로 t를 고정하기

그러면 넓이가 그 거리를 확정한다.

3t/2+4t/2=6 ⟹ t=12/7, [ACD]=18/7, [BCD]=24/7

4STEP 4

CD를 정사각형의 대각선으로 얻기

그래서 자른 선분이 정사각형의 대각선이 된다.

CD=√(t²+t²)=t√(2)=12√(2)/7

5STEP 5

같은 넓이로 AB 나누기

같은 넓이가 긴 변을 두 조각으로 나눈다.

h=(2 · 6)/5=12/5, AD=36/7·5/12=15/7, BD=48/7·5/12=20/7, AD+BD=5

6STEP 6

내접원 반지름을 넓이 나누기 반둘레로 바꾸기

각 내접원 반지름은 넓이 나누기 반둘레다.

r=[△]/s; r_a=(18/7)/((18+6√(2))/7)=3/(3+√(2)), r_b=(24/7)/((24+6√(2))/7)=4/(4+√(2))

7STEP 7

나누고 근호 정리하기

나누고 근호를 정리하면 비가 나온다.

r_a/r_b=(3(4+√(2)))/(4(3+√(2)))=(12+3√(2))/(12+4√(2))·(12-4√(2))/(12-4√(2))=(120-12√(2))/112=3/28(10-√(2))

8STEP 8

크기를 가둔 뒤 선택지 고르기

크기를 가두면 보기 (C)가 확인된다.

11/12 ＜ r_a/r_b ＜ 1, 3/28(10-√(2))≈ 0.9199

정답

3/28(10-√(2))

좌표를 쓰면 D를 독립적으로 확인할 수 있다. C를 원점에 두고 A=(0,3), B=(4,0)이라 하면 직각의 이등분선은 직선 y=x이고 AB는 3x+4y=12이므로 D=(12/7,12/7)이다. 두 좌표 모두 앞에서 구한 t와 같고, 원점까지의 거리는 12√(2)/7로 CD와 일치한다. 수치로는 r_a=3/(3+√(2))≈ 0.6796, r_b=4/(4+√(2))≈ 0.7388이므로 비는 0.9199이고 이는 정확히 3/28(10-√(2))이다. 대소 관계의 모양도 맞다. △ ACD가 더 작은 조각이므로 그 내접원도 더 작아야 하지만, 두 삼각형이 긴 변 CD를 공유하고 C에서의 각이 둘 다 45°이므로 차이는 아주 조금이어야 한다. 선택지 (D)의 약 0.767은 밑변의 비 AD/BD=3/4에서 멈추고 가장 가까운 값을 집는 사람을 위한 함정이다. 공유된 변이 만들어 내는 반둘레 인자 s_b/s_a≈ 1.227이 바로 참값을 0.92까지 밀어 올리는 요인이다.

💡핵심 정리

내접원의 반지름은 넓이를 둘레의 절반으로 나눈 값일 뿐이므로, 두 반지름의 비는 넓이의 비 곱하기 둘레의 비이고, 잘 고른 거리 하나면 그 모두를 얻을 수 있다.

직각이 어디 있는지 찾기
이등분선을 등거리선으로 읽기
넓이로 t를 고정하기
CD를 정사각형의 대각선으로 얻기
같은 넓이로 AB 나누기
내접원 반지름을 넓이 나누기 반둘레로 바꾸기
나누고 근호 정리하기
크기를 가둔 뒤 선택지 고르기