AMC 10 · 2008 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

pythagorean-theoremthirty-sixty-ninety-trianglechord-perpendicular-from-center spatial-visualizationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

둥근 탁자 둘레에 똑같은 깔개 여섯 장을 놓고, 각 깔개의 바깥 변이 가장자리의 현이 된다. 각 깔개의 안쪽 모서리가 다음 깔개의 안쪽 모서리와 맞닿는다. 깔개의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{5}-\sqrt{3}$

(B)

(C)

$\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$

(D)

$2\sqrt{3}$

(E)

$\frac{5+2\sqrt{3}}{2}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 결국 꼭짓점들이 원 위 어디에 놓이는지에 관한 것이라, 중심을 표시한 깔끔한 그림이 기준점이 된다. 그림에서 6겹 대칭이 각도를 확정해 주고, 매트의 중심선을 공유하는 두 직각삼각형이 도형을 식으로 바꿔 준다. 중심에서 바깥 변까지의 거리를 변수로 두면 피타고라스 정리와 30-60-90 삼각형이 나머지를 해결한다.

1STEP 1

중심을 넣어 그림 세우기

여섯 깔개가 원을 60도씩 나눈다.

360°/6 = 60°

2STEP 2

맞닿는 방향이 30도임을 찾기

맞닿는 방향은 두 깔개의 정중앙이다.

1/2 · 60° = 30°

3STEP 3

바깥 거리를 변수로 두고 피타고라스 쓰기

직각삼각형이 현과 반지름을 잇는다.

(x/2)² + d² = 4² = 16

4STEP 4

30-60-90 삼각형으로 d와 x 연결하기

맞닿는 각이 같은 거리를 길이와 잇는다.

d - 1 = √(3)/2 x ⟹ d = 1 + √(3)/2 x

5STEP 5

대입해서 x에 대한 한 식 만들기

대입하면 이차방정식 하나가 나온다.

(x/2)² + (1 + √(3)/2x)² = 16 → x²/4 + 1 + √(3) x + 3x²/4 = 16 → x² + √(3) x - 15 = 0

6STEP 6

양수인 길이 구하기

양의 근을 취하면 (3√(7)-√(3))/2, 보기 (A).

x = (-√(3) + √((√(3))² + 4 · 15))/2 = (-√(3) + √(63))/2 = (3√(7) - √(3))/2

정답

(3√(7)-√(3))/2

수치로 보면 (3 루트 7 빼기 루트 3)을 2로 나눈 값은 대략 (7.94 - 1.73) / 2로 약 3.10이다. 이는 보기 3과 2 루트 3(약 3.46) 사이에 있고 지름 8보다 확실히 작으므로 그 길이의 매트는 탁자에 들어간다. 안쪽 꼭짓점의 O로부터의 거리도 확인하면, x가 약 3.10일 때 d = 1 + (루트 3 / 2) x는 약 3.69이고, 바깥 꼭짓점까지 거리는 루트(1.55 제곱 더하기 3.69 제곱)로 정확히 4가 되어 탁자의 반지름과 맞는다. 도형이 앞뒤가 맞으므로 (C)가 확인된다.

💡핵심 정리

중심을 표시하고, 고른 간격으로 각도를 확정한 뒤, 두 직각삼각형으로 그림을 풀 수 있는 하나의 식으로 바꾸자.

중심을 넣어 그림 세우기
맞닿는 방향이 30도임을 찾기
바깥 거리를 변수로 두고 피타고라스 쓰기
30-60-90 삼각형으로 d와 x 연결하기
대입해서 x에 대한 한 식 만들기
양수인 길이 구하기