AMC 10 · 2008 · #23

학년 12 algebrageometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

complex-numberscomplex-polar-formbinomial-theorem pattern-recognitionsymmetry-argument ↑ 선수 지식: complex-numbers

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

복소수 계수인 사차방정식의 네 해를 점으로 찍는다. 그 점들이 이루는 다각형의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2^{\frac{5}{8}}$

(B)

$2^{\frac{3}{4}}$

(C)

(D)

$2^{\frac{5}{4}}$

(E)

$2^{\frac{3}{2}}$

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

일반적인 사차방정식을 정면으로 푸는 것은 무리이므로, 좌변을 공격하는 대신 다시 쓰는 것이 핵심이다. 계수의 크기 1, 4, 6, 4는 파스칼 삼각형의 네 번째 줄이므로, 이 다항식이 사실은 네제곱 꼴에 상수를 더한 것임을 짐작할 수 있다. 그 안쪽 식을 변수 w 하나로 이름 붙이면 문제는 훨씬 쉬운 방정식 w⁴ = c로 바뀌고, 이 방정식의 근은 원 위에 고르게 놓인 익숙한 모양이 된다. w는 z와 평행이동만큼만 다르므로 w의 다각형과 z의 다각형은 합동이고, 그림 하나로 넓이를 바로 얻는다.

1STEP 1

사차식을 네제곱 꼴로 다시 쓰기

계수가 네제곱을 숨기고 있다.

(z+i)⁴ = z⁴ + 4iz³ - 6z² - 4iz + 1 ⟹ z⁴ + 4z³ i - 6z² - 4zi - i = (z+i)⁴ - (1+i)

2STEP 2

근을 +i만큼 평행이동하기

근을 평행이동해도 넓이는 그대로다.

w = z + i ⟹ w⁴ = 1 + i, area(z-다각형) = area(w-다각형)

3STEP 3

w⁴ = 1+i를 극형식으로 풀기

극형식이 네 근을 하나의 원 위에 놓는다.

1+i = 2¹/2(cosπ/4 + isinπ/4), w_k = 2¹/8(cosθ_k + isinθ_k), θ_k = π/16 + kπ/2

4STEP 4

꼭짓점이 정말 네 개인지 확인하기

각이 모두 서로 다르므로 꼭짓점이 실제로 넷이다.

|w_k| = R = 2¹/8 (모든 k), θ_k+1 - θ_k = π/2 ≠ 0 (mod 2π)

5STEP 5

이 사각형이 정사각형임을 보이기

90도 회전 대칭이 그것을 정사각형으로 만든다.

w⁴ = (iw)⁴ → {w₀, w₁, w₂, w₃}는 π/2 회전에 대해 불변

6STEP 6

외접원 반지름을 넓이로 바꾸기

외접원 반지름이 넓이 2⁵/4를 준다, 보기 (C).

Area = 1/2(2R)(2R) = 2R² = 2·(2¹/8)² = 2 · 2¹/4 = 2⁵/4

정답

2⁵/4

서로 다른 두 가지 크기 확인이 일치한다. 대각선 대신 변을 쓰면, 외접원 반지름이 R인 정사각형의 한 변은 R√(2) = 2¹/8 · 2¹/2 = 2⁵/8이고 이를 제곱하면 2⁵/4로 같은 넓이가 나온다. 수치로는 R ≈ 1.0905이므로 넓이는 약 2.378인데, 이는 정사각형을 담는 원의 넓이 π R² ≈ 3.73보다 작고 그 절반보다는 커야 한다. 실제로 그렇다. 다섯 보기는 대략 1.54, 1.68, 2, 2.38, 2.83이고 (D)만 맞는다. 아깝게 빗나가는 보기들이 무엇을 뜻하는지도 볼 만하다. 2⁵/8은 넓이가 아니라 한 변의 길이이고, 2³/2은 1+i의 크기 √(2)에 네제곱근이 아니라 제곱근만 취했을 때 나오는 값이다. 여기서는 크기를 (2¹/2)¹/4로 명시해 두었기 때문에 두 함정을 모두 피한다.

💡핵심 정리

계수가 1, 4, 6, 4처럼 보이면 그 다항식은 변장한 네제곱이고, 0이 아닌 수의 네제곱근은 언제나 원 위에 정사각형으로 놓인다.

사차식을 네제곱 꼴로 다시 쓰기
근을 +i만큼 평행이동하기
w⁴ = 1+i를 극형식으로 풀기
꼭짓점이 정말 네 개인지 확인하기
이 사각형이 정사각형임을 보이기
외접원 반지름을 넓이로 바꾸기