AMC 10 · 2008 · #24

학년 11 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

law-of-cosinessine-area-formulaam-gm-inequality extreme-principleconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: trigonometric-ratios

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형의 한 꼭짓점이 고정된 각의 한 변을 따라 자유롭게 움직인다. 맞은편 변의 중점은 고정되어 있다. 그때 생기는 각의 탄젠트의 최댓값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

(B)

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

(C)

$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

(D)

$\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}-3}$

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

그림의 자유도는 길이 CA 하나뿐이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 삼각형들의 모임 전체를 하나의 수 x = CA ＞ 0로 바꾸면 tan∠ BAD 는 x 의 함수가 된다. 그러면 도구 #14(극단의 원리)가 곧 문제 자체다. 그 함수를 최대로 만들면 된다. 걸림돌은 ∠ BAD 가 삼각형 ABD 안에 들어 있는데 그 두 변 AB 와 AD 가 모두 x 에 지저분하게 의존한다는 점이다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 이 걸림돌을 없앤다. ∠ BAD 자체를 구하지 말고 두 곱 AB · ADsin∠ BAD 와 AB · ADcos∠ BAD 를 따로 구하는 것이다. 앞의 것은 삼각형 ABD 넓이의 두 배이고 중점 덕분에 쉽게 나오며, 뒤의 것은 코사인법칙이 그대로 준다. 둘을 나누면 모르는 곱 AB · AD 가 약분되고 x 에 대한 깔끔한 유리식으로 tan∠ BAD 가 남는다. 예각이냐 둔각이냐로 경우를 나눌 필요도 없는데, 흔한 '두 각을 빼는' 방법이 미묘해지는 지점이 바로 거기다. 도구 #1(그림 그리기)은 배치를 정직하게 지킨다. D 가 B 와 C 사이에 있다는 사실이 반직선 AD 가 각 BAC 내부에 있음을 보장한다. 계획에 경고 하나가 들어 있다. 부등식은 천장만 줄 뿐이므로, 마지막 단계에서 그 천장에 실제로 닿는 삼각형을 제시해야 한다.

1STEP 1

자유로운 길이 하나에 이름 붙이기

자유로운 길이 하나가 전체 배치를 담는다.

x = CA ＞ 0, CB = 4, CD = DB = 2, ∠ ACB = 60^°

2STEP 2

사인 쪽은 넓이에서 얻기

넓이가 사인 쪽을 바로 준다.

AB · AD·sin∠ BAD = 2[ABD] = [ABC] = 1/2 · x · 4·sin 60^° = √(3) x

3STEP 3

코사인 쪽은 코사인법칙에서 얻기

코사인법칙이 코사인 쪽을 준다.

AB · ADcos∠ BAD = (AB²+AD²-BD²)/2 = ((x²-4x+16)+(x²-2x+4)-4)/2 = x²-3x+8

4STEP 4

나누어 탄젠트 읽어내기

나누면 탄젠트가 하나의 분수로 읽힌다.

tan∠ BAD = √(3) x/(x²-3x+8), x²-3x+8 = (x-3/2)²+23/4 ＞ 0

5STEP 5

최소화할 합의 꼴로 뒤집기

뒤집으면 최대화가 합의 최소화가 된다.

tan∠ BAD = √(3)/(x+8/x-3), x+8/x-4√(2) = (√(x)-2√(2)/√(x))² ≥ 0

6STEP 6

천장에 실제로 닿음을 보이기

그 한계에 실제로 닿으므로 답은 √(3)/(4√(2)-3), 보기 (D).

x = 2√(2): tan∠ BAD = 2√(6)/(16-6√(2)) = √(3)/(4√(2)-3) = (4√(6)+3√(3))/23 ≈ 0.652 → (D)

정답

√(3)/(4√(2)-3)

주장한 최적점 주변에서 함수 f(x) = √(3) x/(x²-3x+8)의 값을 찍어 보자. f(2) = 2√(3)/6 ≈ 0.577, f(2.5) ≈ 0.642, f(2√(2)) ≈ 0.6519, f(3) = 3√(3)/8 ≈ 0.6495, f(4) = 4√(3)/12 ≈ 0.577이고, x → 0^+ 일 때도 x → ∞ 일 때도 f(x) → 0이다. 값은 x = 2√(2) ≈ 2.83까지 올라갔다가 양쪽으로 내려간다. 내부에 최댓값이 하나 있는 함수의 모습 그대로다. 최적점에서 좌표로 독립 확인: C = (0,0), B = (2, 2√(3)), D = (1,√(3)), A = (2√(2), 0)으로 두면 ∠ BAC = arctan2√(3)/(2√(2)-2) ≈ 76.5^°, ∠ DAC = arctan√(3)/(2√(2)-1) ≈ 43.4^° 이므로 ∠ BAD ≈ 33.1^°이고 tan 33.1^° ≈ 0.652로 같은 수가 나온다. 삼각형의 세 각 60^° + 76.5^° + 43.5^°도 180^°로 맞는다. 선택지와 견주면 (A) ≈ 0.289, (B) ≈ 0.577, (C) ≈ 0.612, (D) ≈ 0.652, (E) 1이다. (B)는 x = 2와 x = 4 라는 깔끔한 두 위치에서 나오는 함정 값이고, (C)도 최대가 아닌 x 에서 실제로 나온다. 둘 다 tan∠ BAD 의 진짜 값이긴 하지만 가장 큰 값은 아니다. (E)는 불가능하다. 가능한 가장 큰 각이 약 33^°로 45^°에 한참 못 미치기 때문이다. 남는 것은 (D) 뿐이다.

💡핵심 정리

모르는 두 변 사이에 낀 각이라면 각을 직접 쫓지 말고, 넓이에서 AB · ADsin∠ BAD 를, 코사인법칙에서 AB · ADcos∠ BAD 를 구해 나누어라. 모르는 두 변이 약분되고 탄젠트만 남는다.

자유로운 길이 하나에 이름 붙이기
사인 쪽은 넓이에서 얻기
코사인 쪽은 코사인법칙에서 얻기
나누어 탄젠트 읽어내기
최소화할 합의 꼴로 뒤집기
천장에 실제로 닿음을 보이기