AMC 10 · 2008 · #11
학년 8 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
이 문제는 공간에 대한 사실 하나에 전부 걸려 있다. 원뿔을 수평으로 자르면 위에는 전체를 그대로 줄인 작은 원뿔이 남는다는 것이다. 밑면의 반지름은 끝내 주어지지 않고, 위 조각이 정말로 전체와 닮은꼴일 때만 그 반지름이 약분되어 사라지므로, 이 사실이 있어야 문제가 풀린다. 그래서 첫 일은 계산이 아니라 자른 면이 정말 밑면과 평행한지 확인하는 것이다. 그다음에는 축을 지나는 단면을 그려 줄어드는 비율을 눈에 보이게 만들고, 변수 하나에 그 비율을 실어 부피 공식으로 넘기고, 부피의 비에서 거꾸로 높이를 되찾는다. 마지막 한 걸음이 가장 빠뜨리기 쉽다. 되찾은 높이는 물 위 부분의 높이인데, 문제가 묻는 것은 그 아래 물의 깊이다.
자른 면이 밑면과 평행한지 확인하기
평행한 절단이 같은 꼭짓점의 작은 원뿔을 남긴다.
물은 언제나 수평으로 자리 잡으므로, 서 있는 원뿔을 곧게 가로질러 자르고 위에는 더 작은 원뿔을 남긴다.
7.G.B.6Visualize Spatial Relationships축을 지나게 잘라 줄어든 비율 보기
그 모든 길이가 같은 비로 줄어든다.
꼭대기에서 어떤 비율만큼 내려와 자르면 옆으로 재는 길이도 모두 같은 비율로 줄어든다.
8.G.A.4Draw A Diagram줄어든 비율을 부피의 비로 바꾸기
그래서 부피는 그 비의 세제곱으로 줄어든다.
위 조각은 세 방향 모두 같은 비율로 눌린 것이므로 부피는 그 비율의 세제곱만큼 줄어든다.
위쪽 조각은 세 방향 모두 같은 배율로 줄어들므로, 부피는 그 배율의 세제곱만큼 작아진다.
▸ 왜?
밑면과 나란한 자름은 모든 가로 거리를 같은 몫으로 줄이므로, 밑넓이는 그 제곱만큼 작아진다.
▸ 왜?
뿔의 부피는 밑넓이 곱하기 높이의 3분의 1이므로, 높이가 줄면 세 번째 배율이 붙는다.
거꾸로 줄어든 비율 구하기
세제곱근이 팔분의 일을 절반으로 바꾼다.
부피가 1/8로 줄었다는 것은 한 방향씩 보면 절반으로 줄었다는 뜻이다. 1/2를 세 번 쓰면 1/8이 되기 때문이다.
8.EE.A.2Work Backwards위쪽 높이를 아래쪽 깊이로 바꾸기
전체 높이에서 빼면 4000이다.
마른 높이와 물의 깊이는 꼭대기에서 바닥까지의 거리를 둘로 나눈 조각이므로, 하나는 전체에서 다른 하나를 뺀 값이다.
4.OA.A.3Work Backwards맞는지, 그리고 다른 값은 안 되는지 확인하기
그 관계가 계속 줄어들기만 해서 답이 유일하다, 보기 (C).
후보를 다시 넣어 보면 맞는다는 것이 증명되고, 물이 오를수록 그 비는 줄기만 하므로 맞는 깊이는 하나뿐이다.
7.G.B.6Guess And Check원뿔을 중간에서 수평으로 자르면 위에는 같은 모양의 작은 원뿔이 남고, 모든 방향을 절반으로 줄이면 부피는 1/8로 줄어든다.
- 자른 면이 밑면과 평행한지 확인하기
- 축을 지나게 잘라 줄어든 비율 보기
- 줄어든 비율을 부피의 비로 바꾸기
- 거꾸로 줄어든 비율 구하기
- 위쪽 높이를 아래쪽 깊이로 바꾸기
- 맞는지, 그리고 다른 값은 안 되는지 확인하기
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