AMC 10 · 2008 · #17

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryperpendicular-slopesdifference-of-squaresdigit-sum convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

포물선 위의 세 점이 한 변이 수평이고 넓이를 아는 직각삼각형을 이룬다. 셋째 점의 높이의 자릿수 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

곡선 위의 모든 점은 (t, t²)이므로 점 하나에 문자 하나면 충분하다. 포물선은 y축에 대해 대칭이라 A와 B가 서로 거울상으로 고정되고 밑변이 저절로 정해진다. '직각삼각형'이라는 말은 직각이 어디인지 알려 주지 않으므로, 첫 번째 진짜 할 일은 세 꼭짓점 중 둘을 지우는 것이며 이는 계산이 아니라 논리이다. 직각의 위치가 C로 정해지고 나면 수직 조건을 식으로 옮기는 순간 문제 전체가 인수분해되는 하나의 식이 되고, 거기서 드러나는 사실 덕분에 넓이 조건이 한 줄로 줄어든다.

1STEP 1

각 점을 문자 하나로 이름 붙이기

수평인 변이 밑변의 두 점을 대칭으로 만든다.

A=(-m, m²), B=(m, m²) (m ＞ 0), C=(n, n²), n² ≠ m²

2STEP 2

직각은 C에만 올 수 있다

직각은 밑변 꼭짓점에 올 수 없다.

∠ A = 90° → AC ⊥ AB → AC vertical → x_C = x_A → C=A (contradiction)

3STEP 3

C에서의 직각을 식으로 쓰기

꼭짓점에서 그것을 쓰면 방정식 하나가 나온다.

CA=(-m-n, m²-n²), CB=(m-n, m²-n²), CA·CB=0

4STEP 4

인수분해하면 높이가 1로 고정된다

인수분해하면 삼각형의 높이가 정확히 1로 강제된다.

-(m²-n²)+(m²-n²)²=0 → (m²-n²)[(m²-n²)-1]=0 → m²-n²=1

5STEP 5

넓이가 문자 하나로 줄어든다

그러면 넓이가 문자 하나로 줄어든다.

AB = 2m, h = |m²-n²| = 1, [ABC]=1/2(2m)(1)=m=2008

6STEP 6

그런 삼각형이 실제로 있는지 확인하기

그런 삼각형이 실제로 존재한다.

n=±√(2008²-1), [ABC]=1/2 · 4016 · 1 = 2008 ✓

7STEP 7

y좌표를 구하고 자릿수를 더하기

자릿수를 더하면 18, 보기 (A).

y_C=n²=2008²-1=(2000+8)²-1=4032064-1=4032063, 4+0+3+2+0+6+3=18

정답

모양은 극단적이지만 조건에 어긋나지 않는다. 밑변 4016에 높이 1인 아주 납작한 삼각형이고 넓이는 4016의 절반인 2008이다. 요구된 넓이와 일치하며, C에서 뻗은 두 변의 기울기는 n - m과 n + m으로 그 곱이 n² - m² = -1이므로 직각도 실제로 성립한다. 자릿수 합 18은 주어진 16부터 20 사이에 들어가고, 이웃한 선택지들은 정확히 함정이다. 1을 빼는 것을 잊고 2008² = 4032064를 쓰면 자릿수 합이 19가 되어 선택지 (D)로 간다. m 자체인 2008을 쓰면 10이 되는데 선택지에 없으며, 이는 구해야 할 대상이 m이 아니라 n²임을 알려 준다. 넓이 공식에서 2분의 1을 빠뜨리면 m = 1004, 자릿수 합 15가 되는데 이 역시 선택지에 없다. 6단계의 구성이 그런 배치가 실제로 존재함을 보여 주므로 18은 단지 강제된 값이 아니라 실제로 달성되는 값이다.

💡핵심 정리

y = x² 위에서는 직각이 C 말고는 갈 곳이 없고, 그 사실 하나가 삼각형의 높이를 정확히 1로 묶어 버려서 넓이가 밑변의 절반이 된다.

각 점을 문자 하나로 이름 붙이기
직각은 C에만 올 수 있다
C에서의 직각을 식으로 쓰기
인수분해하면 높이가 1로 고정된다
넓이가 문자 하나로 줄어든다
그런 삼각형이 실제로 있는지 확인하기
y좌표를 구하고 자릿수를 더하기