AMC 10 · 2008 · #19

학년 11 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

complex-numberscompleting-the-squareoptimizationsystems-of-equations convert-to-algebraextreme-principle ↑ 선수 지식: complex-numbersquadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

최고차 계수가 고정된 복소수인 이차식에 미지의 복소수 계수가 둘 있다. 그 식의 두 값이 실수로 나온다. 두 계수 크기의 합의 최솟값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\sqrt {2}$

(C)

(D)

$2 \sqrt {2}$

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

도구 #4(변수 도입하기)로 판을 깐다. α = a + bi, γ = c + di로 두면 실수 네 개가 문제 전체를 짊어지고, 두 절댓값은 제곱합의 제곱근이 된다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 전환점이다. f(1)과 f(i)를 (실수부) + (허수부) i 꼴로 다시 쓴다. "실수다"는 허수부에 대해서만 말하므로, 이렇게 정리하는 순간 가정이 평범한 일차방정식 두 개로 바뀐다. 도구 #14(극단의 원리)가 주 도구인 이유는 묻는 것이 최솟값이기 때문이다. γ의 영향을 소거하고 나면 |α|²이 한 변수의 이차식이 되고, 완전제곱 꼴이 그 하한과 하한에 닿는 유일한 지점을 동시에 드러낸다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 하한만으로는 채울 수 없는 나머지 절반을 담당한다. 구체적인 쌍 하나를 제시하고 f(1)과 f(i)가 정말 실수인지 확인하면, 하한이 그냥 지켜지는 정도가 아니라 실제로 도달된다는 것이 증명된다. 도구 #1(그림 그리기)은 검토에서 독립적인 두 번째 경로를 준다. α에 걸린 조건은 직선 하나이고, 최솟값은 원점에서 그 직선까지의 거리다.

1STEP 1

네 개의 실수 좌표에 이름 붙이기

각 계수를 쪼개면 실수 미지수 넷이 나온다.

α = a + bi, γ = c + di, |α| + |γ| = √(a² + b²) + √(c² + d²)

2STEP 2

f(1)과 f(i) 전개하기

두 값을 전개하면 실수부와 허수부가 갈린다.

f(1) = (4 + a + c) + (1 + b + d) i f(i) = (-4 - b + c) + (-1 + a + d) i

3STEP 3

방정식이 정확히 두 개임을 읽어내기

허수부만 조건을 주므로 조건이 둘뿐이다.

Im f(1) = 0 → 1 + b + d = 0 Im f(i) = 0 → -1 + a + d = 0

4STEP 4

d를 소거해 α만 남기기

미지수 하나를 소거하면 첫 계수가 분리된다.

a - b = 2, d = -1 - b, c 자유

5STEP 5

완전제곱으로 |α|의 바닥 찾기

완전제곱을 만들면 그 크기의 바닥이 √(2)다.

|α|² = (b+2)² + b² = 2(b+1)² + 2 ≥ 2 ⟹ |α| ≥ √(2), 등호는 b = -1 일 때만

6STEP 6

두 바닥이 양립하는지 확인하기

두 바닥이 양립해 다른 크기는 0이 될 수 있다.

|α| = √(2) → b = -1 → d = -1 - b = 0; c = 0 으로 잡으면 → |γ| = 0

7STEP 7

쌍을 만들어 직접 검증하기

구체적인 한 쌍이 거기에 닿으므로 답은 √(2), 보기 (A).

α = 1 - i, γ = 0: f(1) = 5, f(i) = -3, |α| + |γ| = √(2) + 0 = √(2)

정답

√(2)

√(2) ≈ 1.41은 (A) 1과 (C) 2 사이에 있고, 양옆 선택지는 감이 아니라 이유로 지워진다. (A) 1은 불가능하다. γ를 따지기도 전에 |α| ≥ √(2) ＞ 1이기 때문이다. (C), (D), (E)는 최소가 아니다. α = 1 - i, γ = 0이라는 정당한 쌍이 실제로 √(2)를 만들기 때문이다. 상수에 대한 구조적 점검도 해 두자. 두 방정식 어디에도 4는 등장하지 않았고, 등장한 것은 최고차항 계수의 허수부뿐이다. 4 + i를 4 + ki로 바꾸면 조건은 a - b = 2k가 되고 답은 √(2) |k|가 된다. k = 0이면 최고차항 계수가 실수이므로 α = γ = 0이 이미 성립하고 최솟값은 0이다. 마땅히 그래야 하는 대로다. 함정 하나는 이름을 붙여 둘 만하다. "f(1)과 f(i)가 실수"를 값 자체의 방정식 α + γ = -i, α i + γ = i로 바꾸면 문제가 요구한 적 없는 실수부까지 묶어 버린다. 우연히 같은 α = 1 - i에 닿기는 하지만, 정당한 쌍들을 버리는 것이고 더 짧은 α가 불가능함을 전혀 보이지 않으므로 최솟값을 증명하지 못한다.

💡핵심 정리

"두 값이 실수다"를 "두 허수부가 0이다"로 바꾸면, 문제는 직선 하나 위에서 원점에 가장 가까운 점을 찾는 것으로 줄어든다.

네 개의 실수 좌표에 이름 붙이기
f(1)과 f(i) 전개하기
방정식이 정확히 두 개임을 읽어내기
d를 소거해 α만 남기기
완전제곱으로 |α|의 바닥 찾기
두 바닥이 양립하는지 확인하기
쌍을 만들어 직접 검증하기