AMC 10 · 2008 · #9
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
이 문제는 순수한 원 기하이므로 도구 #1(그림 그리기)이 앞장선다. 중심, 현, 호의 중점을 그려 보면 중심 O, 현의 중점 M, 그리고 C를 한 줄로 세우는 대칭축이 드러난다. 그 축을 그으면 AC가 작은 직각삼각형 조각들로 나뉘므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 차례로 처리한다 — 먼저 중심에서 현까지의 거리, 다음으로 짧은 간격 MC, 마지막으로 AC 자신이다. 도구 #3(가능성 지우기)이 마무리한다: 답은 3보다 살짝 크고, 보기 중 그만큼 작은 것은 하나뿐이다.
대칭축 그리기
대칭축이 현을 반으로 나눈다.
호의 중점을 지나는 지름을 축으로 원을 뒤집으면 A와 B가 맞바뀌므로, 그 지름은 반드시 C를 지나고 현을 반으로 가른다.
8.G.A.1Draw A Diagram중심에서 현까지의 거리
직각삼각형 하나가 중심까지의 거리를 4로 준다.
중심에서 현의 중점으로 그은 선은 현과 수직이므로, 현의 절반과 중심까지의 거리가 직각삼각형의 두 변이 된다.
중심에서 현의 중점으로 그은 선은 현과 직각으로 만나며, 직각삼각형을 만든다.
▸ 왜?
그 선을 따라 원을 접으면 현의 두 끝이 맞바뀌므로, 그 선은 현의 수직이등분선이다.
▸ 왜?
그 직각 덕분에 반지름과 현의 절반과 중심에서 현까지의 거리가 하나의 식으로 묶인다.
짧은 간격 MC 구하기
축을 따라 남은 간격은 1뿐이다.
O, M, C가 한 직선 위에 있고 M이 O와 C 사이에 있으므로 거리는 그냥 빼면 된다.
6.NS.C.6Identify SubproblemsAC 계산하기
두 번째 직각삼각형이 √(10)을 준다, 보기 (A).
AC는 현의 절반 AM과 짧은 간격 MC를 두 변으로 하는 작은 직각삼각형의 빗변이다.
8.G.B.7Identify Subproblems중심을 지나는 대칭축을 그으면 현이 반으로 갈리고, 구하려는 거리가 작은 직각삼각형의 빗변으로 바뀐다.
- 대칭축 그리기
- 중심에서 현까지의 거리
- 짧은 간격 MC 구하기
- AC 계산하기