AMC 10 · 2009 · #13
학년 10 geometry-2d
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문제가 삼각형 한 무리를 한꺼번에 묻고 있으므로 양끝 두 각을 넣어 보는 것이 자연스러운 수다. 그런데 두 경우를 계산하면 그 두 값만 증명될 뿐, 사이에 있는 각들에 대해서는 아무 말도 하지 못한다. 구간은 그 사이 값까지 모두 담아야 한다. 그래서 계획은 반드시 두 부분으로 이루어진다. 첫째, 트는 각이 커질 때 AC가 한 방향으로만 움직인다는 것을 증명한다. 이것이 있어야 양끝 두 경우가 그저 두 개의 자료가 아니라 진짜 상한과 하한이 된다. 둘째, 그 두 경계값을 정확히 계산한다. 계산은 좌표와 피타고라스 정리가 맡는데, 이 방법은 공식만 보아서는 숨어 있는 사실 하나도 드러낸다. AC²은 C의 위치 중 오직 동쪽으로 얼마나 나아갔는지에만 의존한다는 것이다. 마지막 단계는 크기 비교다. 상한이 무리수라서 800보다 작다는 것을 따로 보여야 하기 때문이다.
트는 각은 꺾인 정도이지 B에서의 내각이 아니다
트는 각은 꺾인 정도이므로 내각은 그 보각이다.
조금만 틀면 거의 직진에 가깝고, 그것은 모퉁이의 각이 좁은 것이 아니라 넓은 것이다.
8.G.A.5Draw A DiagramAC의 제곱은 C가 동쪽으로 얼마나 갔는지에만 달렸다
좌표를 쓰면 거리의 제곱이 좌표 하나에만 달린다.
둘째 구간 중 앞으로 계속 나아가는 몫만 출발점에서 멀어지는 데 보태지고, 옆으로 새는 몫은 이미 정해진 구간 길이가 떠맡는다.
8.G.B.8Convert To Algebra많이 틀수록 AC가 줄어든다는 것 보이기
더 크게 틀수록 마지막 거리가 언제나 짧아진다.
경첩을 넓게 벌릴수록 두 끝이 서로 멀어지는데, 트는 각은 그 경첩을 오히려 닫으므로 많이 틀수록 양 끝이 가까워진다.
경첩을 더 벌리면 두 끝이 더 멀어지므로, 회전이 커질수록 두 끝점이 가까워진다.
▸ 왜?
두 변의 길이가 정해져 있으면 나머지 한 변은 오로지 그 사이 각으로 정해진다.
▸ 왜?
그 의존이 결코 뒤집히지 않으므로, 양 끝의 두 회전만 확인하면 그 사이가 모두 한정된다.
양끝 두 각을 계산하기
양 끝의 각을 계산하면 범위가 감싸진다.
익숙한 두 직각삼각형이 동서 방향으로 나아간 정도를 재지 않고도 그대로 알려 준다.
10.G-SRT.C.6Identify Subproblems범위를 한 구간 안에 가두기
그 범위 전체가 [700,800] 안에 들어간다, 보기 (B).
제곱하면 근호와 분수를 견주는 껄끄러운 비교가 평범한 두 수의 비교로 바뀐다.
8.NS.A.2Eliminate Possibilities각이 어떤 범위 안에서 자유롭게 움직일 수 있을 때는, 그 사이 내내 답이 한 방향으로만 움직인다는 것을 보인 뒤에야 양끝만 확인한 것이 증명이 된다.
- 트는 각은 꺾인 정도이지 B에서의 내각이 아니다
- AC의 제곱은 C가 동쪽으로 얼마나 갔는지에만 달렸다
- 많이 틀수록 AC가 줄어든다는 것 보이기
- 양끝 두 각을 계산하기
- 범위를 한 구간 안에 가두기