AMC 10 · 2009 · #14

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometrymedian-of-trianglequadratic-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 직선의 기울기가 삼각형의 셋째 꼭짓점 위치도 정한다. 그 직선이 삼각형을 넓이가 같은 둘로 나눠야 한다. 가능한 기울기의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$- \!\frac {1}{3}$

(B)

$- \!\frac {1}{6}$

(C)

$\frac {1}{6}$

(D)

$\frac {1}{3}$

(E)

$\frac {1}{2}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

삼각형을 그려 보면 문제를 여는 사실 하나가 바로 보인다. 직선 y = mx는 원점을 지나고, 그 원점이 삼각형의 꼭짓점이다. 그러니 이 직선은 아무 데나 지나가는 절단선이 아니라 꼭짓점에서 마주 보는 변으로 가는 절단선이고, 그런 절단선에게 "넓이가 같다"는 말은 아주 깔끔한 기하적 뜻을 가진다. 그 뜻을 좌표로 옮기면 m에 대한 이차방정식 하나가 나온다. 방정식을 풀고 나서는 방정식이 대신해 줄 수 없는 일을 해야 한다. 각 m을 그림에 되돌려 넣어, 정말로 삼각형이 만들어지고 정말로 반으로 잘리는지 확인하는 일이다. 그 시험을 통과한 값만 합에 들어갈 자격이 있다.

1STEP 1

자르는 직선은 꼭짓점을 지난다

그 직선은 무엇이든 한 꼭짓점을 지난다.

A = (0,0)은 모든 m 에 대해 y = mx 위에 있다; C = (6m,0) = A ⇔ m = 0

2STEP 2

넓이가 같다는 것은 D가 중점이라는 뜻

그래서 넓이가 같다는 것은 맞은편 중점을 지난다는 뜻이다.

[ABD] = 1/2 · BD · h, [ACD] = 1/2 · DC · h ⟹ [ABD] = [ACD] ⇔ BD = DC

3STEP 3

직선이 그 중점을 지나게 하기

그것을 강제하면 이차방정식 하나가 나온다.

M = ( (1+6m)/2, 1/2 ), 1/2 = m · (1+6m)/2 ⟹ 6m² + m - 1 = 0

4STEP 4

이차방정식 풀기

그것이 두 근으로 인수분해된다.

6m² + m - 1 = (3m-1)(2m+1) = 0 ⟹ m = 1/3 또는 m = -1/2

5STEP 5

두 값을 그림에 되돌려 확인하기

둘 다 진짜 삼각형을 주어 둘 다 살아남는다.

m = 1/3: C=(2,0), M=(3/2,1/2), [ABC]=1; m = -1/2: C=(-3,0), M=(-1,1/2), [ABC]=3/2

6STEP 6

살아남은 값 더하기

더하면 -1/6, 보기 (B).

1/3 + ( -1/2 ) = 2/6 - 3/6 = -1/6

정답

- 1/6

중점 규칙을 믿는 대신 좌표로 넓이를 직접 확인하자. m = 1/3일 때 두 조각은 A(0,0), B(1,1), M(3/2,1/2)과 A(0,0), C(2,0), M(3/2,1/2)이고, 신발끈 공식으로 각각 1/2이 나오며 전체 삼각형의 넓이는 1이다. m = -1/2일 때는 각 조각이 3/4이고 전체는 3/2이다. 두 분할 모두 실제로 성립하므로 두 근 모두 합에 들어간다. 답의 크기도 그럴듯하다. 근 1/3과 -1/2은 0을 사이에 두고 거의 상쇄되므로 합은 작은 음수여야 하고, -1/6이 바로 그렇다. 선택지에 심어 둔 함정도 보인다. 양수 근만 찾고 멈춘 사람은 1/3에서 (D)를 고르게 된다. 답은 (B) -1/6이다.

💡핵심 정리

꼭짓점에서 출발하는 절단선은 마주 보는 변의 중점에 닿을 때에만 삼각형을 넓이가 같은 두 조각으로 나누고, 방정식이 내놓은 값은 모두 그림에 되돌려 넣어 진짜로 삼각형이 되는지 확인해야 한다.

자르는 직선은 꼭짓점을 지난다
넓이가 같다는 것은 D가 중점이라는 뜻
직선이 그 중점을 지나게 하기
이차방정식 풀기
두 값을 그림에 되돌려 확인하기
살아남은 값 더하기