AMC 10 · 2009 · #16

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

tangent-circlescoordinate-geometryquadratic-equations convert-to-algebracompleting-the-square ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 원이 두 양의 축에 접하면서 고정된 원과 바깥에서 접한다. 그런 원이 하나 이상 있다. 가능한 모든 반지름의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4 (변수 도입하기): 평면 위의 원은 보통 세 개의 수가 필요하지만, 두 축에 동시에 접한다는 조건이 그 셋을 반지름 r 하나로 줄여 준다. 중심이 (r,r)로 강제되기 때문이다. 도구 #13 (대수로 바꾸기): 외접은 '닿는다'는 말이고, 거리 공식이 그것을 r에 대한 방정식 하나로 바꿔 준다. 도구 #15 (다르게 정리하기): 완전제곱꼴로 고쳐 쓰면 두 근이 어떤 중심값을 기준으로 짝을 이루어 나타나는데, 이것이 마지막 질문이 묻는 바로 그 구조다. 도구 #3 (가능성 지우기): 방정식은 어떤 원도 실현할 수 없는 근을 내놓을 수 있으므로, 각 근이 세어지기 전에 기하 조건으로 검사해야 한다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 문제는 반지름 자체가 아니라 합을 원하고, 근들이 정당하다는 것만 확인되면 합은 이차식의 계수에서 바로 읽을 수 있다.

1STEP 1

반지름을 이름 짓고 중심을 고정

두 축에 접하면 중심이 대각선 위에 온다.

|x₀|=|y₀|=r, x₀ ＞ 0, y₀ ＞ 0 ⟹ C=(r,r)

2STEP 2

접한다는 조건을 방정식 하나로

바깥에서 접한다는 조건이 방정식 하나가 된다.

CA = r + 1

3STEP 3

거리를 계산하고 전개하기

전개하면 반지름에 대한 이차방정식이 된다.

(r-3)²+r²=(r+1)² ⟺ 2r²-6r+9=r²+2r+1 ⟺ r²-8r+8=0

4STEP 4

완전제곱꼴로 고치기

완전제곱을 만들면 두 근이 나온다.

r²-8r+16=8 ⟹ (r-4)²=8 ⟹ r=4± 2√(2)

5STEP 5

두 근이 진짜 원인지 확인

둘 다 양수라 둘 다 진짜 원이다.

4-2√(2)≈ 1.17 ＞ 0, 4+2√(2)≈ 6.83 ＞ 0

6STEP 6

반지름을 더하기

더하면 8, 보기 (D).

(4-2√(2))+(4+2√(2))=8 → (D)

정답

두 원을 수로 검산하자. r=4-2√(2)≈ 1.1716일 때 중심은 (1.1716,1.1716)이고 CA=√((1.1716-3)²+1.1716²)=√(4.7157)≈ 2.1716으로 r+1과 같다. r=4+2√(2)≈ 6.8284일 때는 CA=√(3.8284²+6.8284²)=√(61.284)≈ 7.8284로 역시 r+1이다. 두 배치 모두 실제로 존재한다. 크기도 그림과 맞는다. 고정된 원은 x축 위에 놓여 2 ≤ x ≤ 4를 차지하므로, 한 해는 작아서 원점과 그 원 사이 모서리에 들어앉고 다른 해는 커서 그 원을 감싸며 지나간다. '외접'이라는 말이 숨은 일을 하고 있는지도 확인해 볼 만하다. 내접이라면 CA=|r-1|이 되어 r²-4r+8=0이 나오는데 판별식이 16-32=-16 ＜ 0이므로 내접하는 원은 존재하지 않는다. 잘못 포함하거나 빠뜨릴 해가 애초에 없다는 뜻이고, 배치가 정말로 하나로 정해진다. 끝으로 8은 어느 한쪽 반지름보다도 크며, 양수 두 개의 합이라면 당연히 그래야 한다. 오답 4는 두 근의 한가운데 값으로, 근을 하나만 찾았거나 (r-4)²=8에서 대칭의 중심에 멈춘 풀이가 내놓는 값이다.

💡핵심 정리

두 축의 모서리에 끼인 원은 중심이 (r,r)이라 수 하나로 완전히 정해진다. 다만 이차방정식의 근을 더하기 전에, 모든 근이 정말로 그려질 수 있는지 먼저 확인하라.

반지름을 이름 짓고 중심을 고정
접한다는 조건을 방정식 하나로
거리를 계산하고 전개하기
완전제곱꼴로 고치기
두 근이 진짜 원인지 확인
반지름을 더하기