AMC 10 · 2009 · #21

학년 11 algebra

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

polynomial-rootscomplex-numbersroots-of-unity polynomial-substitutioncasework ↑ 선수 지식: polynomial-roots

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 삼차식의 계수를 그대로 써서 십이차 다항식을 만든다. 그 근 중 실수가 아닌 것의 개수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

계수를 모르는 12차 다항식을 정면으로 다루면 막막하다. 그런데 지수 12, 8, 4, 0은 p의 지수 3, 2, 1, 0에 4를 곱한 것이므로, 이 큰 다항식은 p에 x⁴를 넣은 것일 뿐이다. 그러면 어려운 12차 문제 하나가 이미 다 아는 삼차식 문제와 네제곱근 문제 세 개로 바뀐다. 먼저 주어진 세 근에서 거꾸로 올라가 p를 인수분해된 꼴로 쓰고, 12차 다항식의 근 전체를 네 개씩 세 묶음으로 나눈 뒤, 각 묶음에서 어떤 근이 실수인지 판정한다. 개수 세기가 실제로 기대는 지점, 즉 반드시 확인해야 하고 그냥 가정하면 안 되는 두 가지는 세 묶음이 겹치지 않는다는 것과 각 묶음의 네 근이 서로 다르다는 것이다. 그렇지 않으면 '근의 개수'와 '서로 다른 근의 개수'가 어긋난다.

1STEP 1

거꾸로 올라가 p를 인수분해하기

세 근이 삼차식을 완전히 인수분해한다.

p(x) = (x - (2009 + 9002π i))(x - 2009)(x - 9002)

2STEP 2

큰 다항식을 p(x⁴)로 읽기

큰 다항식은 그 삼차식에 네제곱을 넣은 것이다.

x¹² + ax⁸ + bx⁴ + c = p(x⁴) = (x⁴ - (2009 + 9002π i))(x⁴ - 2009)(x⁴ - 9002)

3STEP 3

열두 개의 근이 서로 다름을 확인하기

열두 근이 모두 서로 다르다.

x⁴ = r_i and x⁴ = r_j → r_i = r_j; r_i ≠ 0 → x⁴ - r_i has 4 distinct zeros

4STEP 4

묶음 x⁴ = 2009 + 9002 pi i

실수가 아닌 목표가 실수 아닌 근 넷을 준다.

x ∈ R → x⁴ ∈ R, but Im(2009 + 9002π i) = 9002π ≠ 0 → 4 nonreal zeros

5STEP 5

묶음 x⁴ = 2009와 x⁴ = 9002

각 실수 목표가 둘씩 더 준다.

x⁴ - t = (x² - √(t))(x² + √(t)) → x = ±∜(t) (real), x = ± i∜(t) (nonreal)

6STEP 6

합산한 뒤 여집합으로 검산하기

합하고 검산하면 8, 보기 (B).

4 + 2 + 2 = 8 = 12 - 4

정답

개수 8은 가능한 범위인 0부터 12 사이에 있고 보기에도 들어 있다. 구조적인 검사도 통과한다. 네 실근 ±∜(2009)와 ±∜(9002)는 하나씩 직접 확인할 수 있는데, (±∜(2009))⁴ = 2009이므로 p(x⁴)의 가운데 인수가 0이 되고 9002에 대해서도 마찬가지이다. 다만 솔깃한 지름길 하나는 피해야 한다. 실수가 아닌 근이 켤레쌍으로 나온다는 성질은 계수가 실수일 때만 성립하는데, 여기서는 a = -(2009 + 9002π i) - 2009 - 9002 자체가 실수가 아니므로 성립하지 않는다. 즉 8이 짝수인 것은 이 문제에서 우연일 뿐 강제된 대칭이 아니고, 개수는 묶음별로 직접 쌓아 올려야 했다. 끝으로, 커 보이는 수 2009, 9002, π는 계산에 전혀 등장하지 않았다. 중요한 사실은 셋 중 둘이 양의 실수이고 하나가 실수가 아니며 셋이 서로 다르고 0이 아니라는 것뿐이다.

💡핵심 정리

다항식의 지수가 모두 4의 배수이면 그것은 사실 더 작은 다항식에 x⁴를 넣은 것이고, 그 작은 다항식의 근 하나하나가 네제곱근 네 개로 갈라져 실수인 것과 아닌 것으로 나뉜다.

거꾸로 올라가 p를 인수분해하기
큰 다항식을 p(x⁴)로 읽기
열두 개의 근이 서로 다름을 확인하기
묶음 x⁴ = 2009 + 9002 pi i
묶음 x⁴ = 2009와 x⁴ = 9002
합산한 뒤 여집합으로 검산하기