AMC 10 · 2009 · #5
학년 7 geometry-3d volume-rectangular-prismdifference-of-squareslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
정육면체의 한 모서리를 늘이고 다른 모서리를 같은 만큼 줄이며 셋째는 그대로 둔다. 새 상자의 부피가 5만큼 작다. 정육면체의 부피를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
8
(B)
27
(C)
64
(D)
125
(E)
216
풀이 과정
전략 변수 도입하기
두 도형을 하나로 이어 주는 핵심은 정육면체의 모서리 길이인데, 이 값을 모르므로 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 s라고 이름 붙이면 정육면체와 새 상자를 같은 기호로 나타낼 수 있다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "5만큼 작다"라는 문장을 식으로 옮기면, 서로 반대인 두 변화(+1과 -1)가 깔끔하게 정리된다. s를 구하고 나면 도구 #3(가능성 지우기)으로 정육면체의 부피를 다섯 개의 선택지 중 하나에 정확히 맞춘다.
1STEP 1
정육면체의 모서리에 이름 붙이기
모서리에 이름을 붙이면 모든 것이 문자 하나에 걸린다.
s = 정육면체의 모서리 길이
모르는 모서리에 이름을 붙이면 두 도형을 하나의 기호로 나타낼 수 있다.
6.EE.B.6Introduce A Variable2STEP 2
두 부피를 식으로 쓰기
그러면 두 부피를 모두 쓸 수 있다.
V_정육면체 = s³, V_상자 = (s+1)(s-1) s
부피는 세 변의 길이를 모두 곱한 것일 뿐이다.
5.MD.C.5Convert To Algebra3STEP 3
상자의 부피 정리하기
바뀐 모서리들이 곱해져 제곱의 차가 된다.
(s+1)(s-1) = s² - 1, V_상자 = s(s² - 1) = s³ - s
서로 반대인 두 변화 +1과 -1이 상쇄되어 깔끔한 s² - 1로 정리된다.
위아래로 하나씩인 두 반대되는 손질이 서로 지워져 깔끔한 제곱 빼기 1이 된다.
▸ 왜?
1 큰 수와 1 작은 수의 곱은 두 제곱의 차이므로, 곧바로 접힌다.
제곱의 차는 인수분해된다같은 두 수의 합과 차를 곱하면 가운데 항이 지워지고 첫 제곱에서 둘째 제곱을 뺀 것만 남는다.
▸ 왜?
괄호를 펼치면 각 항이 다른 쪽에 퍼지며, 그래서 가운데 항이 지워진다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
4STEP 4
식을 세우고 모서리 구하기
빼면 한 단계짜리 방정식이 남는다.
s³ - (s³ - s) = 5 → s = 5
정육면체 부분이 상쇄되므로 5만큼 줄어든 양이 곧 모서리 하나의 길이와 같다.
6.EE.B.7Introduce A Variable5STEP 5
정육면체의 부피 구하기
모서리를 세제곱하면 125, 보기 (D).
V_정육면체 = 5³ = 125 → (D)
구한 모서리를 세제곱하면 문제가 물은 부피가 나온다.
6.EE.A.1Eliminate Possibilities정답
125
숫자로 직접 확인해 보자. 모서리가 5이면 정육면체의 부피는 5³ = 125이고, 새 상자는 6 × 4 × 5 = 120이다. 그 차이는 125 - 120 = 5로, 문제에서 말한 것과 정확히 같다. 부피 125는 선택지 (D)이므로 결과가 문제와 선택지 모두에 들어맞는다.
💡핵심 정리
한 변을 1만큼 늘리고 다른 한 변을 1만큼 줄이면, 부피는 건드리지 않은 변의 길이만큼 줄어든다.
- 정육면체의 모서리에 이름 붙이기
- 두 부피를 식으로 쓰기
- 상자의 부피 정리하기
- 식을 세우고 모서리 구하기
- 정육면체의 부피 구하기