AMC 10 · 2009 · #6
학년 8 algebra exponentsprime-factorization convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 문자가 서로 다른 두 소수의 거듭제곱을 나타낸다. 주어진 12의 거듭제곱과 언제나 같은 식을 고르라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$P^2Q$
(B)
$P^nQ^m$
(C)
$P^nQ^{2m}$
(D)
$P^{2m}Q^n$
(E)
$P^{2n}Q^m$
풀이 과정
전략 변수 도입하기
모든 것이 두 재료 P = 2^m과 Q = 3ⁿ으로 쓰여 있다. 밑 12를 2와 3의 거듭제곱으로 쪼갠 다음, 지수 법칙을 이용해 각 소수의 거듭제곱을 P와 Q로 다시 만든다. 마지막에 간단한 수 대입으로 딱 맞는 보기 하나를 확정한다.
1STEP 1
밑을 소인수로 분해하기
밑을 인수분해하면 두 소수 거듭제곱이 나온다.
12^mn = (2² · 3)^mn = 2²mn · 3^mn
12를 2 부분과 3 부분으로 나누면 2와 3을 따로 다룰 수 있다.
8.EE.A.1Introduce A Variable2STEP 2
P와 Q로 소수 거듭제곱 다시 만들기
한 소수가 두 번 나와 그 지수가 두 배가 된다.
P²ⁿ = 2²mn, Q^m = 3^mn
지수 위에 지수를 쌓으면 곱해지므로, P와 Q로 원하는 어떤 지수든 만들 수 있다.
지수 위에 지수를 쌓으면 서로 곱해지므로, 주어진 양으로 원하는 어떤 지수에도 닿을 수 있다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 쓰는지를 세므로, 거듭제곱의 거듭제곱은 그만큼 되풀이해 쓴 것이다.
거듭제곱은 반복 곱셈b^n은 밑 b를 n번 곱한 것이며, 1보다 큰 밑의 거듭제곱은 값이 엄격히 커진다.
▸ 왜?
밑을 소수로 가르면 2와 3을 완전히 따로 다룰 수 있다.
소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.
3STEP 3
조각들을 맞춰 붙이기
조각을 맞추면 P²ⁿQ^m이 된다.
12^mn = 2²mn · 3^mn = P²ⁿ Q^m
각 소수의 거듭제곱을 P나 Q로 쓰고 나면, 목표 식은 그저 그 둘의 곱이다.
6.EE.A.2Organize Information In More Ways4STEP 4
수 대입으로 확인하기
수를 대입해 보면 P²ⁿQ^m이 확인된다, 보기 (D).
m=2, n=1: 12^mn=144 = 2⁴ · 3 = P²ⁿQ^m
작은 수를 넣어 보면 대수 계산이 맞는지 확인되고, 비슷해 보이는 보기가 걸러진다.
6.EE.A.1Eliminate Possibilities정답
P²ⁿQ^m
밑 12 = 2² · 3은 3보다 2를 두 배 많이 품고 있으므로, 2 부분의 지수가 더 커야 한다. 보기 (E)는 2 부분에 P²ⁿ을, 3 부분에 Q^m을 쓰는데, 2n이 m을 이기는 정도가 2² · 3이 예고한 두 배와 정확히 맞는다. m=2, n=1을 대입하면 양변이 모두 144가 되어, 한 쌍의 우연을 넘어 일치가 유지됨을 확인할 수 있다.
💡핵심 정리
수를 소수의 거듭제곱으로 쪼갠 다음, 지수 법칙으로 소수 하나씩 목표 식을 다시 만들면 된다.
- 밑을 소인수로 분해하기
- P와 Q로 소수 거듭제곱 다시 만들기
- 조각들을 맞춰 붙이기
- 수 대입으로 확인하기