AMC 10 · 2009 · #8
학년 8 geometry-2d area-rectanglesratio-proportionsystems-of-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
똑같은 직사각형 넷이 작은 정사각형을 둘러싸며 함께 큰 정사각형을 채운다. 큰 정사각형의 넓이가 작은 것의 네 배다. 직사각형 두 변의 비를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
3
(B)
$\sqrt {10}$
(C)
$2 + \sqrt2$
(D)
$2\sqrt3$
(E)
4
풀이 과정
전략 변수 도입하기
그림 속에는 두 정사각형이 숨어 있고, 그 변의 길이는 직사각형의 두 변으로 이루어진다. 두 변에 이름을 붙이고 그림에서 두 정사각형의 변을 읽어내면, 넓이 조건이 하나의 방정식이 되어 풀 수 있다.
1STEP 1
그림에서 두 정사각형을 읽기
그림이 두 정사각형의 변을 합과 차로 준다.
바깥 변 = ℓ + s, 안쪽 변 = ℓ - s
큰 정사각형의 변을 걸어가면 긴 변 하나와 짧은 변 하나를 끝과 끝으로 지난다.
6.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
넓이 조건을 방정식으로 바꾸기
넓이 조건이 방정식 하나가 된다.
(ℓ + s)² = 4(ℓ - s)²
두 영역 모두 정사각형이므로 '넓이 = 변의 제곱'으로 그림이 하나의 깔끔한 방정식이 된다.
6.EE.B.6Introduce A Variable3STEP 3
양변에 제곱근 취하기
근호를 취하면 일차가 된다.
ℓ + s = 2(ℓ - s)
넓이의 비가 4 : 1이면 변의 길이의 비는 2 : 1이다.
넓이의 비가 4대 1이면 변의 길이의 비는 2대 1이다.
▸ 왜?
넓이는 두 방향마다 배율을 한 번씩 받으므로, 길이의 비는 넓이의 비의 제곱근이다.
넓이는 배율의 제곱으로 커진다모든 길이를 어떤 배율로 늘리면 도형이 두 방향으로 동시에 늘어나므로, 넓이는 그 배율만큼 두 번 곱해진다.
▸ 왜?
양변에 같은 제곱근을 취해도 등식은 참으로 남으므로, 그렇게 해도 된다.
양쪽에 똑같이 하면 등식은 유지된다저울은 양쪽 접시에서 같은 양을 덜어내거나 같은 양을 올려도 수평을 유지한다.
4STEP 4
변의 비 구하기
풀면 비는 3, 보기 (E).
ℓ + s = 2ℓ - 2s → 3s = ℓ → ℓ/s = 3
지수가 사라지면 두 길이에 대한 한 줄짜리 일차방정식이 된다.
8.EE.C.7Convert To Algebra정답
3
s = 1, ℓ = 3으로 확인하자. 바깥 변 = 1 + 3 = 4, 안쪽 변 = 3 - 1 = 2 이므로 넓이는 각각 16과 4이다. 16 = 4 × 4 이므로 넓이 조건이 성립하고 비 3이 확인된다. 그림에 주어진 직사각형과도 일치한다.
💡핵심 정리
한 정사각형의 넓이가 다른 것의 4배이면 변은 2배로 길다. 넓이 단서를 먼저 변의 단서로 바꾸자.
- 그림에서 두 정사각형을 읽기
- 넓이 조건을 방정식으로 바꾸기
- 양변에 제곱근 취하기
- 변의 비 구하기