AMC 10 · 2009 · #13

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
pythagorean-theoreminteger-pythagorean-triplesarea-triangles identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 삼각형의 두 변과 셋째 변에 내린 높이가 알려져 있다. 맞는 삼각형이 둘 있다. 가능한 셋째 변 두 값의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
15
(B)
16
(C)
17
(D)
18
(E)
19
풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 중심이다. 아직 그려지지 않은 유일한 대상이 높이(수선)이고, 그것을 그리는 순간 비스듬한 삼각형 하나가 직각삼각형 둘로 갈라지기 때문이다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 직각삼각형을 따로 다룬다. 각각 빗변 하나와 공통인 변 12를 가지고 있으므로 피타고라스 정리로 자기 몫의 밑변 조각을 내놓는다. 그런데 그 두 수는 완전히 고정되어 버린다. 다시 말해 이 문제의 본체는 계산이 아니라 배치 문제다. 수선의 발이 직선 BC 위 어디에 놓일 수 있는가? 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 그 답을 하나 가정하는 대신 전부 열거해서 준다. 바로 이 열거가 "가능한 값이 두 개"라는 말을 믿고 넘어가는 전제가 아니라 증명된 사실로 바꾼다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 후보 삼각형을 실제로 만들어 높이를 재 본다. 가능성을 나열하는 것과 그것이 존재함을 보이는 것은 다른 일이기 때문이다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지를 읽으면, 삼각형 하나만으로는 답이 될 수 없다는 사실이 조용히 확인된다.

1STEP 1

높이를 내리고 그 발에 이름 붙이기

높이가 그림을 두 직각삼각형으로 나눈다.

AD = 12, ∠ ADB = ∠ ADC = 90°
2STEP 2

피타고라스로 두 조각을 확정하기

각각이 밑변의 자기 조각을 확정한다.

BD = √(13² - 12²) = 5, DC = √(15² - 12²) = 9
3STEP 3

점들이 놓일 수 있는 모든 경우 나열하기

발이 어느 쪽에도 올 수 있어 길이가 둘 나온다.

B ∈ {-5, 5}, C ∈ {-9, 9} → BC = |C - B| ∈ {4, 14}
4STEP 4

두 삼각형을 실제로 만들어 확인하기

두 삼각형 모두 실제로 존재하므로 둘 다 센다.

BC = 14: 1/2(5)(12) + 1/2(9)(12) = 84 = 1/2(14)(12) BC = 4: 1/2(9)(12) - 1/2(5)(12) = 24 = 1/2(4)(12)
5STEP 5

두 길이를 더하기

더하면 18, 보기 (D).

14 + 4 = 18 → (D)
정답
18
첫 번째 삼각형은 잘 알려진 13-14-15 삼각형으로 넓이가 84이다. 14인 변에 대한 높이는 (2 · 84)/14 = 12로, 주어진 수와 정확히 일치한다. 두 번째인 4-13-15는 성립하기는 하지만 아슬아슬하다. 4 + 13 = 17이 15를 겨우 넘는데, 이것이 바로 밑변 끝 바깥으로 수선의 발이 미끄러져 나간 극단적인 둔각삼각형의 모습이다. 기하와 계산이 어느 쪽이 이상한 삼각형인지에 대해 같은 말을 하고 있다. 값이 새어 나가지 않았는지 잡아 주는 범위 검사도 있다. 두 변이 13과 15이므로 나머지 변은 15 - 13 ＜ BC ＜ 15 + 13, 즉 2 ＜ BC ＜ 28을 만족해야 한다. 14와 4 모두 이 범위 안에 있고, 수선의 발 위치를 빠짐없이 열거했으므로 빠뜨린 세 번째 후보도 없다. 마지막으로 18은 선택지 범위인 15부터 19 사이에 무난히 들어가므로 크기가 수상할 것도 없다. 다만 진짜 안심의 근거는 두 삼각형을 이름만 부른 것이 아니라 실제로 만들어 재 보았다는 사실이다.
💡핵심 정리

수선의 발이 반드시 두 꼭짓점 사이에 떨어지는 것은 아니다. 바깥으로 떨어질 수 있는지 확인해 보자. 그 바깥 그림이 통째로 두 번째 답이다.

  • 높이를 내리고 그 발에 이름 붙이기
  • 피타고라스로 두 조각을 확정하기
  • 점들이 놓일 수 있는 모든 경우 나열하기
  • 두 삼각형을 실제로 만들어 확인하기
  • 두 길이를 더하기

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