AMC 10 · 2009 · #16
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #1 (그림 그리기): 주어진 두 각은 대각선의 양 끝에서 서로 반대쪽 다리를 마주 보고 있어서, 그려진 그대로의 그림에는 둘을 이어 주는 것이 아무것도 없다. 두 다리를 연장해 만나게 하면 두 각이 한 삼각형 안에 들어가는 점이 하나 생긴다. 이 문제는 통째로 그 한 수 위에 세워져 있고, 어떤 보조점을 잡을지는 계산이 아니라 그림의 판단이다. 도구 #15 (다르게 정리하기): BC:AD = 9:5는 그림의 양 끝에 떨어져 있는 두 변을 비교한다. 닮음을 통해 같은 사실을 다시 읽으면 한 직선 위 두 조각의 비가 되고, 직선 위에서는 길이가 그냥 더해진다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 보조점을 잡고 나면 할 일이 서로 독립인 두 작은 질문으로 갈라진다. DE의 길이는 얼마인가(한 삼각형 안의 각 추적)와 ED:EC는 얼마인가(닮음)이며, 따로 답한 뒤 합치면 된다. 도구 #4 (변수 도입하기): CD = x라고 이름 붙이면 마지막 관계가 일차방정식 하나가 된다. 도구 #11 (거꾸로 풀기): 거기까지는 그런 사다리꼴이 존재한다면 CD가 하나의 값을 가진다는 것만 증명한다. 이등변삼각형에서 출발해 작도를 거꾸로 되짚으면 네 조건을 모두 만족하는 도형이 실제로 만들어지고, 그 값이 정말로 달성됨을 알 수 있다.
두 다리는 평행할 수 없다
두 다리는 평행할 수 없어 한 점에서 만난다.
사다리꼴은 삼각형의 꼭대기를 잘라 낸 모양이고, 잘린 꼭대기가 바로 두 빗변이 만나는 자리다.
8.G.A.5Draw A DiagramE가 어디에 있는지 확정하기
닮은 삼각형이 그 점의 위치를 정한다.
두 다리는 짧은 평행변 쪽으로 모여들므로, 잘려 나간 꼭대기는 언제나 짧은 변 쪽 바깥에 있다.
10.G-SRT.B.5Organize Information In More Ways두 배 관계가 DE = DB를 만든다
두 배 관계가 삼각형을 이등변으로 만든다.
46°는 애초에 두 번째 정보가 아니라 23°를 두 배 한 것이고, 외각은 바로 그 두 배를 되돌려 주는 도구다.
두 배가 된 각은 외각으로 되풀리며, 그래서 두 변이 같아진다.
▸ 왜?
외각은 멀리 있는 두 내각을 더한 것과 같은데, 세 각이 하나의 평각을 나눠 가지기 때문이다.
▸ 왜?
삼각형에서 같은 두 각은 같은 두 변을 마주 보므로, 각이 같으면 길이도 같아진다.
직선 위에서 더하고 풀기
그 직선을 따라 더하면 다리가 4/5이다.
ED가 마침 주어진 길이 1과 같아지는 순간, 비 9:5는 말 그대로 그 단위로 CD를 세어 준다.
8.EE.C.7Introduce A Variable사다리꼴을 직접 만들어 존재를 확인하기
사다리꼴을 직접 만들면 존재가 증명된다, 보기 (C).
어떤 수를 강요하는 조건도 실은 존재하지 않는 도형을 가리킬 수 있으니, 한 번 직접 만들어 네 조건이 함께 성립하는 것을 눈으로 확인한다.
10.G-SRT.A.2Work Backwards한 각이 다른 각의 정확히 두 배로 주어졌다면 사다리꼴의 빗변을 만날 때까지 연장해 보라. 두 배 관계가 이등변삼각형으로 접히고, 변의 비는 그다음에 한 직선 위에서 그대로 읽힌다.
- 두 다리는 평행할 수 없다
- E가 어디에 있는지 확정하기
- 두 배 관계가 DE = DB를 만든다
- 직선 위에서 더하고 풀기
- 사다리꼴을 직접 만들어 존재를 확인하기
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