AMC 10 · 2009 · #17
학년 7 probabilitygeometry-3d답을 골라 클릭하세요.
이 문제의 핵심은 감는 줄무늬가 실제로 무엇인지 3차원으로 보는 데 있다. 그것은 마주 보는 한 쌍을 건너뛰고 정육면체를 감싸는 4개 면의 띠다. 도구 #17(공간 상상하기)은 그 심상을 떠올리고, 왜 두 띠가 동시에 닫힐 수 없는지 알아채는 열쇠다. 도구 #1(그림 그리기)은 '이 면의 줄무늬는 이 방향이어야 한다'가 구체적으로 남도록 정육면체 스케치를 붙잡아 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 (i) 고른 띠 하나가 닫힐 확률, 그다음 (ii) 세 띠를 합치기로 나눈다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 표본공간의 크기(2⁶ = 64)를 못 박고, 유리한 경우의 수(64 중 12)라는 깔끔한 교차 확인도 준다.
똑같은 확률의 결과 모두 세기
똑같이 가능한 결과가 64가지다.
독립적인 두 갈래 선택 여섯 번이 곱해져 똑같은 확률의 정육면체 64개짜리 표본공간이 된다.
7.SP.C.8Make A Systematic List감는 줄무늬를 띠로 그리기
고리는 네 면으로 된 띠이고 그런 띠가 셋이다.
정육면체를 감는 띠는 늘 마주 보는 한 쌍을 건너뛰고, 그런 쌍은 세 개뿐이다.
6.G.A.4Visualize Spatial Relationships고른 띠 하나가 닫힐 확률
한 띠가 닫힐 확률은 1/16이다.
네 면이 각자 '나란한' 한쪽에 맞아야 하고, 1/2을 네 번 곱하면 1/16이다.
7.SP.C.8Identify Subproblems띠들은 겹칠 수 없다
두 띠가 동시에 닫힐 수는 없다.
공유하는 면은 한 방향만 가리킬 수 있으니, 한 정육면체에서 띠는 최대 하나만 닫힌다.
공유된 면은 한 방향만 가리킬 수 있으므로, 한 정육면체에서 닫히는 띠는 많아야 하나다.
▸ 왜?
띠가 둘이려면 같은 면이 두 방향을 가리켜야 하므로, 어떤 정육면체도 둘 다 가질 수 없다.
▸ 왜?
각 면의 줄무늬는 다른 면과 상관없이 정해지므로, 네 번의 독립된 선택이 맞아떨어질 때에만 띠가 닫힌다.
배반인 세 띠를 더하기
그래서 셋이 그냥 더해져 3/16, 보기 (B).
배반 사건은 그냥 더하면 되고, 깔끔한 12/64 개수가 3/16을 확인해 준다.
6.RP.A.3Identify Subproblems정육면체를 한 바퀴 감는 줄무늬는 위아래 한 쌍을 건너뛰는 4개 면의 띠일 뿐이다. 그런 띠는 3개이고 각각 (1/2)⁴ = 1/16의 확률로 닫히며, 두 띠는 절대 동시에 닫힐 수 없으니 더하면 된다: 3 × 1/16 = 3/16, 보기 (B).
- 똑같은 확률의 결과 모두 세기
- 감는 줄무늬를 띠로 그리기
- 고른 띠 하나가 닫힐 확률
- 띠들은 겹칠 수 없다
- 배반인 세 띠를 더하기
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