AMC 10 · 2009 · #20

학년 7 geometry-3dcounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

spatial-visualizationdouble-countingface-adjacency identify-subproblemsphysical-representation ↑ 선수 지식: spatial-visualization

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

볼록 입체의 모든 꼭짓점을, 그 꼭짓점의 모서리만 자르는 평면으로 잘라 내고 어떤 두 평면도 만나지 않는다. 남는 입체의 모서리 수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

200

(B)

(C)

300

(D)

400

(E)

풀이 과정

전략 공간 상상하기

절단 한 번이 무엇을 만들어 내는지 분명해지기 전에는 아무것도 계산할 수 없으므로, 먼저 꼭짓점 하나를 가까이 들여다보고 어떤 조각들이 생기는지 정확히 본다. 절단 한 번을 이해하고 나면 나머지 세기는 전부 국소적이다. R의 모서리는 모두 옛 모서리의 살아남은 가운데 토막이거나 새로 생긴 면의 한 변이다. 새 변을 꼭짓점마다 더하는 일은 옛 모서리의 양 끝을 세는 일과 같고, 같은 합을 다르게 정리한 이 지점에서 정체 모를 n이 사라진다. 마지막으로 보기 두 개에 아직 n이 남아 있으므로, 총합이 n에 의존할 수 없음을 확인해 선택지를 확정한다.

1STEP 1

절단 한 번을 가까이 보기

절단 하나가 그 꼭짓점의 모서리만 가로지른다.

P_k crosses exactly the d_k edges at V_k

2STEP 2

모든 모서리는 두 번 잘린다

그래서 모든 옛 모서리가 정확히 두 번 잘린다.

100 edges × 2 cuts each = 200 cut points

3STEP 3

절단마다 다각형 면이 생긴다

절단마다 새 다각형 면이 남는다.

new edges from P_k = d_k

4STEP 4

새 모서리 세기

그 면들이 새 모서리 200개를 보탠다.

Σ_k=1ⁿ d_k = 2 × 100 = 200

5STEP 5

빠뜨린 것이 없는지 확인

옛 모서리의 가운데 부분이 살아남는다.

edges of R = (middle segments) + (sides of the n new faces)

6STEP 6

합치고 n을 지우기

더하면 300이고 꼭짓점 개수는 들어오지 않는다.

100 + 200 = 300

7STEP 7

정육면체로 점검하기

정육면체로 공식을 확인하면 300이 맞는다, 보기 (C).

E_R = 3E_Q, 3 × 12 = 36, 3 × 100 = 300

정답

300

두 번째 국소적 계산도 같은 값을 준다. R의 새 꼭짓점은 모두 옛 모서리 위의 절단점이고, 그곳에는 R의 모서리가 정확히 세 개 모인다. 그 옛 모서리의 가운데 토막, 그리고 그 점에서 끝나는 새 다각형의 두 변이다. 차수가 3인 새 꼭짓점이 200개이고 모서리마다 끝이 두 개이므로 모서리 개수는 (3 × 200)/2 = 300으로 앞과 일치한다. 크기도 그럴듯하다. R에는 옛 모서리 100개가 일부씩 그대로 남아 있고 꼭짓점마다 새 모서리 고리가 하나씩 더해지므로 100의 몇 배가 되는 것이 자연스럽다. 200은 둘 다 담기에 너무 적고, 400은 R의 어떤 면도 감당할 수 없는 새 모서리를 요구한다.

💡핵심 정리

꼭짓점을 전부 잘라 내면 모서리마다 가운데는 남고 양 끝은 각각 새 모서리 하나로 바뀌므로, 입체의 모서리 개수는 처음의 세 배가 된다.

절단 한 번을 가까이 보기
모든 모서리는 두 번 잘린다
절단마다 다각형 면이 생긴다
새 모서리 세기
빠뜨린 것이 없는지 확인
합치고 n을 지우기
정육면체로 점검하기