AMC 10 · 2009 · #25

학년 8 countinggeometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

coordinate-geometryrotation-isometrysystematic-enumerationabsolute-value easier-related-problemsymmetry-argument ↑ 선수 지식: coordinate-geometryrotation-isometry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

격자점이 가운데가 비어 십자 모양으로 뚫린 네 덩어리를 이룬다. 네 꼭짓점이 모두 그 안에 있고 변이 6 이상인, 기울어져도 되는 정사각형의 개수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

125

(B)

150

(C)

175

(D)

200

(E)

225

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

가운데가 뚫린 10×10 판에서 기울어진 정사각형까지 직접 세는 것은 감당이 안 되므로, 이것을 그냥 5×5 격자에서 정사각형을 세는 문제로 바꾼다. 이것이 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)다. 거기까지 가려면 준비가 세 가지 필요하다. 도구 #14(극단의 원리)는 한 블록 안에서 가장 먼 거리와 서로 다른 블록 사이의 가장 가까운 거리를 잰다. 이 두 수가 6을 사이에 두고 갈라지므로 '한 변이 6 이상'이라는 조건이 '각 블록에 꼭짓점이 하나씩'이라는 깔끔한 조건으로 바뀐다. 도구 #3(가능성 지우기)은 두 대각선이 중점을 공유한다는 사실을 써서 어느 꼭짓점끼리 마주 보는지를 확정한다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)로 정사각형을 꼭짓점 A와 변 벡터 w로 이름 붙이면, 바깥 세 블록을 첫 블록 위로 밀어 올리는 일이 w↦ w+(10,0)이라는 대입 한 번이 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 '5×5 격자에 들어가는가'라는 검사를 가로 검사와 세로 검사로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가능한 변 벡터 전체에 걸쳐 개수를 더한다.

1STEP 1

변이 6 이상이면 블록마다 꼭짓점 하나

변의 조건이 덩어리마다 꼭짓점 하나를 강제한다.

same block → d ≤ 4√2 ＜ 6; different blocks → d ≥ 6

2STEP 2

마주 보는 꼭짓점은 대각 블록에

마주 보는 꼭짓점은 대각으로 마주 보는 덩어리에 있어야 한다.

midpoint(A,B)_y ≥ 3 ≠ midpoint(C,D)_y ≤ -3 → AB is not a diagonal

3STEP 3

꼭짓점 하나와 변 벡터로 이름 붙이기

꼭짓점 하나와 변 벡터 하나가 정사각형 전체를 정한다.

B=A+w, D=A+R(w), C=A+w+R(w), R(p,q)=(-q,p)

4STEP 4

바깥 세 블록을 첫 블록 위로 밀기

바깥 덩어리를 첫 덩어리 위로 밀면 비교할 수 있게 된다.

A'=A, B'=B+(10,0), C'=C+(10,10), D'=D+(0,10), w'=w+(10,0)

5STEP 5

변 벡터가 격자에 들어가는 조건

변 벡터는 크기가 충분히 작을 때만 맞고, 그것이 개수를 준다.

fits ⇔ |m|+|n| ≤ 4, #{A'} = (5-|m|-|n|)²

6STEP 6

가능한 변 벡터를 모두 더하기

가능한 모든 벡터를 더하면 225, 보기 (E).

Σ_k=0⁴ (ring size) (5-k)² = 25 + Σ_k=1⁴ 4k(5-k)² = 25 + 4 · 50 = 225 → (E)

정답

225

손으로 셀 수 있는 부분과 대조해 보자. G의 정사각형이 축에 평행한 것은 변 벡터 w가 수평일 때, 즉 n=0일 때다. 공식에 넣으면 Σ_m=-4⁴(5-|m|)²=25+2(16+9+4+1)=85이다. 축에 평행한 정사각형을 직접 세도 같다. 그런 정사각형은 차가 같은 s인 x 쌍과 y 쌍이 필요한데, 허용된 좌표에서 차가 s=6,7,…,14인 쌍의 개수는 차례로 1,2,3,4,5,4,3,2,1이므로 1+4+9+16+25+16+9+4+1=85다. 서로 다른 두 경로가 모두 85를 주므로 장치가 제대로 돈다는 뜻이다. 여기서 흔한 착각도 드러난다. 반듯한 정사각형은 125개가 아니라 85개이고, 따라서 기울어진 것이 140개로 더 많으며 답은 85보다 한참 위여야 한다. 극단도 확인하자. 가장 큰 항인 k=0은 w=(-10,0)과 5×5 격자 어디든 놓이는 A'을 주는데, A'=(5,5)면 정사각형 (5,5),(-5,5),(-5,-5),(5,-5)이고 유효하다. 가장 작은 항인 k=4, (m,n)=(-4,0)은 A'=(7,7)과 w=(-14,0)을 강제하여 가장 큰 정사각형 (7,7),(-7,7),(-7,-7),(7,-7) 하나를 정확히 한 번 센다. 기울어진 예도 보자. A=(4,3), w=(-10,1)이면 (4,3),(-6,4),(-7,-6),(3,-7)이고 모두 G에 있으며 변의 길이는 √(101)≈10.05 ≥ 6이다. 총합 225는 보기 (E)와 맞는다.

💡핵심 정리

멀리 있는 세 블록을 첫 블록 위로 밀어 올리면 구멍 뚫린 지저분한 판이 평범한 5×5 격자가 되고, 큰 정사각형은 모두 시작점 하나와 짧은 화살표 하나가 되어 세어 보면 225개다.

변이 6 이상이면 블록마다 꼭짓점 하나
마주 보는 꼭짓점은 대각 블록에
꼭짓점 하나와 변 벡터로 이름 붙이기
바깥 세 블록을 첫 블록 위로 밀기
변 벡터가 격자에 들어가는 조건
가능한 변 벡터를 모두 더하기