AMC 10 · 2009 · #7
학년 7 rate-ratio percentagefraction-multiplicationlinear-equations-one-var work-backwards ↑ 선수 지식: percentage
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 값이 석 달 동안 주어진 퍼센트만큼 오르내리고, 그다음 모르는 퍼센트만큼 내린다. 결국 처음 자리로 돌아온다. 그 모르는 퍼센트를 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
12
(B)
17
(C)
20
(D)
25
(E)
35
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기
끝 가격이 시작 가격에 고정되어 있고, 4월의 하락만이 유일한 미지수다. 그러니 3월까지는 앞으로 계산하고, 고정된 끝 값에서 거꾸로 거슬러 올라가 4월이 만들어야 할 하락을 구한다. 시작 가격을 편리하게 100으로 잡으면 모든 퍼센트가 쉬운 곱셈이 된다.
1STEP 1
시작 가격을 100으로 잡기
편한 시작 값이 모든 퍼센트를 쉽게 만든다.
P₀ = 100
퍼센트로 나오는 답은 시작 금액과 무관하니, 계산이 가장 쉬운 금액을 고른다.
7.RP.A.3Solve An Easier Related Problem2STEP 2
1월과 2월 적용하기
첫 두 달이 값을 시작보다 아래로 내린다.
100 × 1.20 = 120, 120 × 0.80 = 96
20% 올랐다가 20% 내리면 손해인데, 내림이 올라간 가격의 더 큰 몫이기 때문이다.
20퍼센트 올랐다가 20퍼센트 내리면 손해인데, 내리는 몫이 오른 값에 대한 더 큰 몫이기 때문이다.
▸ 왜?
퍼센트는 언제나 적용되는 대상의 100분의 몇이므로, 그 기준이 중요하다.
퍼센트는 100분의 목p%는 100 중 p를 뜻하므로, 어떤 양의 p%는 그 양의 (p/100)배이다.
▸ 왜?
더 큰 값의 같은 몫은 더 큰 양이므로, 내림이 오름을 앞선다.
비례하는 양은 함께 커진다두 양이 일정한 비를 유지하면 하나를 두 배 하면 다른 하나도 두 배가 되므로, 아는 비로 모르는 비를 대신할 수 있다.
3STEP 3
3월 적용하기
셋째 달이 값을 다시 위로 밀어 올린다.
96 × 1.25 = 120
1.25를 곱하면 현재 가격의 4분의 1을 위에 더하는 것이다.
7.RP.A.3Identify Subproblems4STEP 4
거꾸로 풀어 4월의 하락 구하기
마지막 하락은 그 오른 값을 기준으로 잰다.
x = (120 - 100)/120 × 100 = 20/120 × 100 = 16.6
퍼센트 하락은 언제나 내려가기 직전의 가격을 기준으로 재며, 여기서는 100이 아니라 120이다.
7.RP.A.3Work Backwards5STEP 5
가장 가까운 정수로 반올림하기
반올림하면 17, 보기 (E).
16.6 ≈ 17
소수 부분이 0.5보다 크면 다음 정수로 올림한다.
5.NBT.A.4Work Backwards정답
17
앞으로 확인해 보자. 120을 17% 내리면 120 - 0.17 * 120 = 120 - 20.4 = 99.6으로, 목표인 100에 매우 가깝다. 이는 x가 17(보기 B) 근처임을 확인해 준다. 흔한 오답은 20(보기 C)인데, 20달러 하락을 4월의 실제 시작 가격 120이 아니라 원래의 100을 기준으로 쟀기 때문이다.
💡핵심 정리
퍼센트 변화는 항상 지금 가격에 작용하므로, 오른 것을 되돌리는 데 필요한 퍼센트는 오른 퍼센트보다 작다.
- 시작 가격을 100으로 잡기
- 1월과 2월 적용하기
- 3월 적용하기
- 거꾸로 풀어 4월의 하락 구하기
- 가장 가까운 정수로 반올림하기